UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 4
Seja cujo enésimo termo é dado por:
Para todo . Então a sequência converge?
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
O problema nos deu uma sequência e perguntou se essa sequência converge
Lembrando que , então na verdade o que temos é o somatório de quando até . Ao somatório de uma sequência chamamos de série! Então nossa série é:
E o problema quer saber se essa série converge ou não
Vamos lá?
Passo 2
Para identificarmos se a série converge ou não, precisamos usar o teste da comparação. Isso porque temos uma função do tipo seno/cosseno em cima, que é limitada, e embaixo um polinômio.
Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.
E daí podemos ter duas opções:
- Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
- Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir
Passo 3
Agora a série conhecida é uma p-série, que é do tipo:
Essa série é convergente se , para temos a série harmônica, e ela é divergente. Mas para qualquer outro valor de , a série é convergente.
Para ela ser uma boa série de comparação, ela precisa ser menor do que a série que queremos avaliar, e de fato ela é, saca só:
O cosseno pode assumir apenas valores entre e , então é possível dizer que:
E se dividirmos tudo por temos:
Sendo assim, a série
É maior do que
E se a maior converge, a menor também converge.
Então é correto afirmar que essa sequência é SIM convergente!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!