Seja a n n ∈ N cujo enésimo termo é dado por:

a n = ∫ 1 n cos 2 ⁡ x x 2 d x ,

Para todo n ≥ 0 . Então a sequência a n n ∈ N converge?

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O problema nos deu uma sequência a n e perguntou se essa sequência converge

Lembrando que n ∈ N , então na verdade o que temos é o somatório de cos 2 ⁡ n n 2 quando n = 1 até n → ∞ . Ao somatório de uma sequência chamamos de série! Então nossa série é:

∑ n = 1 ∞ cos 2 ⁡ n n 2

E o problema quer saber se essa série converge ou não

Vamos lá?

Passo 2

Para identificarmos se a série converge ou não, precisamos usar o teste da comparação. Isso porque temos uma função do tipo seno/cosseno em cima, que é limitada, e embaixo um polinômio.

Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.

E daí podemos ter duas opções:

  • Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
  • Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir

Passo 3

Agora a série conhecida é uma p-série, que é do tipo:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Essa série é convergente se p > 1 , para p = 1 temos a série harmônica, e ela é divergente. Mas para qualquer outro valor de p > 1 , a série é convergente.

Para ela ser uma boa série de comparação, ela precisa ser menor do que a série que queremos avaliar, e de fato ela é, saca só:

O cosseno cos 2 ⁡ n pode assumir apenas valores entre 0 e 1 , então é possível dizer que:

0 ≤ cos 2 ⁡ n ≤ 1

E se dividirmos tudo por n 2 temos:

0 ≥ cos 2 ⁡ n n 2 ≤ 1 n 2

Sendo assim, a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

É maior do que

∑ n = 1 ∞ cos 2 ⁡ n n 2

E se a maior converge, a menor também converge.

Então é correto afirmar que essa sequência é SIM convergente!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

V e r d a d e i r o

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
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Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1
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