Determine se a série converge ou diverge.

u) ∑ n = 1 ∞ n sin ⁡ 1 n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.

Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. O primeiro teste que nós podemos tentar aplicar pra testar essa convergência é o teste da divergência.

O teste da divergência nos diz que toda série convergente tem:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Então, de forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e der diferente de zero, podemos dizer que a série é divergente.

Mas, se liga, ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero, mas ele não diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente, beleza? Ela pode ou não convergir quando o resultado é zero. Mas se for diferente de zero, já podemos garantir sua divergência.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa série é dada por:

∑ n = 1 ∞ n sin ⁡ 1 n

Então, nosso termo geral será:

a n = n sin ⁡ 1 n

Calculando o limite pra quando n → ∞ , temos:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n sin ⁡ 1 n

Escrevendo esse produto como um quociente, temos:

= lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ 1 n 1 n

Vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, para fugir da indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ - cos ⁡ 1 n n 2 - 1 n 2

Simplificando:

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n

Assim, quando n → ∞ , temos:

cos ⁡ ( 0 ) = 1

Como temos lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , podemoa afirmar que a nossa série é divergente, pelo teste da divergência.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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