UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 7j
Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:
j)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.
Bom, pra testar a convergência de séries existem vários métodos. Nesse caso, como nosso termo geral é , nós podemos usar o teste da raiz para nos livrarmos desse expoente chato. Isso acontece porque no teste da raiz podemos escrever:
Daí assumimos que tende a um valor limite quando tende a infinito. Se esse limite existir:
Nós não vamos precisar calcular o limite, porque basta usar a condição de desigualdade, , que o enunciado no deu, para obtermos um intervalo de convergência que atenda as condições do teste da raiz.
Além disso, vamos verificar o valor da somada série, notando que nós temos uma série geométrica, , cuja soma é dada é por:
Onde é a razão da série geométrica.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos partir do termo geral que nós encontramos no passo , usando o teste da raiz, que foi . O enunciado nos disse que , sendo assim, dividido por vai ser menor do que , certo? Então, nós temos:
Pela propriedade do módulo, se e , então . Assim, vamos ter:
Dessa forma,
Isolando nas duas inequações, temos:
E
Portanto, nossa série converge no intervalo:
Passo 3
Agora para calcular a soma dessa série, precisamos perceber que temos uma série geométrica de razão . E na série geométrica do tipo , sua soma é definida por:
Como nosso é igual a , vamos ter:
Simplificando:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉