9 - Determine se a série converge ou diverge.

d) ∑ n = 1 ∞ 1 + cos ⁡ n n 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ 1 + cos ⁡ n n 2 converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste da comparação.

Esse teste consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Dessa forma, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge, mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, sabemos que 1 + cos ⁡ n ≤ 2 . Dividindo os dois lados por n 2 , temos

1 + cos ⁡ n n 2 ≤ 2 n 2

Portanto vamos analisar se b n = 2 n 2 converge...

Para saber se b n converge podemos relacionar b n com uma P-Série.

As P-Séries são dadas por ∑ n = 1 ∞ 1 n p , se p > 1 a série converge e se p ≤ 1 a série diverge.

Nesse caso em b n = 2 n 2 vemos que p = 2 e, portanto, b n converge.

Logo, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Converge pelo teste da comparação.

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