Estude a natureza das séries abaixo:
Passo 1
Oi, galerinha, antes de começar a estudar essa série, eu proponho uma coisinha! É um pouco complicado aplicar o Teste da comparação quando temos muitos termos no numerador, então minha proposta é dar uma mexida na cara dessa função.
Lembra daquele produto notável ? Usando essa ideia, se a gente multiplicar o numerador por conseguimos nos livrar da raiz. Fica assim, olha:
Certo, conseguimos nos livrar das raízes no numerador, mas e agora?
Passo 2
Agora vamos escolher uma série parecida que a gente saiba a convergência para descobrir se a nossa série converge ou diverge.
Eu acho mais simples pensar sem as raízes nos denominador. Deste modo, seria muito interessante se tivéssemos no denominador, pois as raízes iriam sumir. Repara,
Quando fizemos isso, chegamos a uma série que diverge. Se você ta se perguntando o por quê que ela diverge, dá uma olhada nesse truque, considerando , temos:
Ou seja, a série diverge porque ela nada mais é do que a série harmônica, só que começando em ! E a harmônica galera, diverge.
Ok, mas em que isso nos ajuda? Olha o seguinte:
Ou seja, mostramos, por meio de muitas bruxarias, que a série do problema tem termos maiores que os de uma série que diverge, logo, ela também diverge.
Resposta
A série diverge.