Considere a função
- Determine o polinômio de de grau centrado em de .
- Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Item b) Na letra A ele pedia o Polinômio de Taylor. O resultado encontrado nesse caso é:
Bem, se o exercício nos pediu pra determinar o polinômio de em meio de uma prova sobre séries, ele só pode estar nos sugerindo que o utilizamos, certo?! ;)
Esse polinômio nos indica que próximo de , fica muito próximo do polinômio. Note também que quanto maior o grau do polinômio mais a gente se aproxima de Ou seja
Se a gente tomar que o está se aproximando de pelos positivos, podemos notar que
Pois, tendo como , verificamos
Isso é verdade pois a soma de termos positivos é sempre maior que um dos termos. Então
Passo 2
Mas o que isso tem a ver com a série que temos que testar?
Pois então, reparando bem a série, que temos que testar, temos um termo , como está ficando grande, então o inverso está tendendo a sempre pelo lado positivo, logo a gente pode falar que
Como é positivo, podemos multiplicar ambos os latos dessa inequação por
Logo, se a gente percebe que
Essa série aqui a gente conhece, é a série harmônica, se lembra? E ela diverge, forçando a nossa série que estamos testando divergir também!:)
Resposta
Item a)
Item b)
A série é é divergente.