Determine se a série converge ou diverge.

i) ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.

A gente poderia pensar em usar o teste da divergência para verificar isso, mas ele não ajudaria muito, porque lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = 0 e nesse caso o teste seria inconclusivo.

Mas a gente pode pensar em comparar essa série com outra que a gente já conheça o comportamento, como a série harmônica:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Assim, vamos usar o teste da comparação, que nos diz que dadas duas séries de termos positivos ∑ a n e ∑ b n :

s e   a n ≤ b n     e   b n   c o n v e r g e ,     e n t ã o   a n   t a m b é m   c o n v e r g e s e   a n ≥ b n   e   b n   d i v e r g e ,     e n t ã o   a n   t a m b é m   d i v e r g e

Vamos lá!

Passo 2

Nossa série é dada por:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Vamos chamar o nosso termo geral a n :

a n = ln ⁡ n n

Agora vamos comparar esse termo com a série geométrica, que tem como termo geral:

b n = 1 n

Vamos dar uma olhada no gráfico dessas dua funções:

Repare que para n começando em e ≈ 2,72 , nós temos:

ln ⁡ n n ≥ 1 n

Além disso, nós sabemos que a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n é sempre divergente. Dessa forma, temos:

a n ≥ b n   e   b n   d i v e r g e

Então, de acordo com o teste da comparação, a n também vai divergir e temos:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n → d i v e r g e n t e

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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