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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1

Calcule os seguintes limites laterais:

j) l i m x → - 1   k ( x ) - k ( - 1 ) x + 1 ,   onde k ( x ) = { x 2 + 1 ,     s e   x ≥ - 1   2 x 4 ,     s e   x < - 1 .  

Passo 1

Vamos calcular o limite lateral direito de l i m x → - 1 +   k ( x ) - k ( - 1 ) x + 1 , onde k ( x ) = { x 2 + 1 ,     s e   x ≥ - 1   2 x 4 ,     s e   x < - 1   .

Primeiro, vamos encontrar a expressão para k ( - 1 ) . Como a definição de k ( x ) depende de duas condições (uma para x ≥ - 1 e outra para x < - 1 ), devemos considerar ambas as condições:

P a r a   x ≥ - 1 ,   t e m o s   k ( - 1 ) = ( - 1 ) 2 + 1 = 2 .

P a r a   x < - 1 ,   t e m o s   k ( - 1 ) = 2 ( - 1 ) 4 = 2 .

Passo 2

A g o r a ,   c a l c u l a m o s   o   l i m i t e   l a t e r a l   d i r e i t o :

l i m x → - 1 +   k ( x ) - k ( - 1 ) x + 1 = l i m x → - 1 +   x 2 + 1 - 2 x + 1

= l i m x → - 1 +   x 2 - 1 x + 1

= l i m x → - 1 +   ( x - 1 ) ( x + 1 ) x + 1

= l i m x → - 1 +   ( x - 1 )

= - 1 - 1 = - 2

P o r t a n t o ,   l i m x → - 1 +   k ( x ) - k ( - 1 ) x + 1 = - 2 .

Resposta

P o r t a n t o ,   l i m x → - 1 +   k ( x ) - k ( - 1 ) x + 1 = - 2 .

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