Mostre que a função z = f(x, y) não tem limite quando (x, y) → (0, 0) .

g(z) = x^6 / (x^3 + y^2)^2 (h) z = (xy(x - y)) / (x^4 + y^4)

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( g )   z = x 6 ( x 3 + y 2 ) 2 ( h )   z = x y ( x - y ) x 4 + y 4

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 6 ( x 3 + y 2 ) 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x 6 ( x 3 + y 2 ) 2 = x 6 ( x 3 + 0 2 ) 2 = 1

ou seja, temos que

l i m ( x , y = 0 ) → 0 x y 2 x 2 + y 4 = 1

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a função y = x 3 / 2 , temos que

x 6 ( x 3 + y 2 ) 2 = x 6 ( x 3 + [ x 3 / 2 ] 2 ) 2 = x 6 ( x 3 + x 3 ) 2

ou, simplesmente

x 6 ( x 3 + x 3 ) 2 = x 6 4 x 6 = 1 4

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x 3 / 2 ) → 0 1 4 = 1 4

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! Portanto, o limite não existe! Vamos para o próximo agora!

Passo 3

Temos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x y ( x - y ) x 4 + y 4

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x y ( x - y ) x 4 + y 4 = x ( 0 ) ( x - ( 0 ) ) x 4 + ( 0 ) 4 = 0

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = - x , temos que

x y ( x - y ) x 4 + y 4 = x ( - x ) ( x - ( - x ) ) x 4 + ( - x ) 4 = - 2 x 3 2 x 4

ou, simplesmente

- 2 x 3 2 x 4 = - 1 x

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = - x ) → 0 - 1 x = - ∞

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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