Dê um exemplo no qual lim x → 0 ⁡ f ( x ) existe, mas l i m x → 0 f x não existe.

Passo 1

Bom, queremos uma função cujo limite no ponto x = 0 não exista, mas que se for aplicado o módulo esse limite passa existir. Vamos pensar juntos, o que o módulo faz? Ele torna função sempre positiva. Opa! Acho que já saquei. Lembra que para o limite em um ponto existir os limites laterais nesse ponto devem ser iguais? Então, se houver uma função cujos limites laterais em x = 0 tiverem sinais contrários, esse limite não vai existir. Mas se essa função estiver dentro de um módulo, os limites laterais passarão a ter o mesmo sinal (positivo) e o limite passará a existir. Pronto, matamos a charada, agora é só pensar em uma função desse tipo.

Passo 2

Um exemplo é a função

f x = x x

Observe que

l i m x → 0 - x x = - 1

l i m x → 0 + x x = 1

E por isso

l i m x → 0 x x   n ã o   e x i s t e

Agora olha como fica se botarmos o módulo.

l i m x → 0 - x x = 1

l i m x → 0 + x x = 1

E por isso

l i m x → 0 x x = 1

Resposta

f x = x x

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5