Calcule os limites:

lim x → 1 2 + ⁡ 3 x + 1 4 x 2 - 1

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

Tá percebendo um negocinho diferente ali na parte do valor que precisamos tender no limite? Tem um sinal positivo ali. Você sabe o que isso significa?

Imagine o eixo x como mostrado abaixo. O sinal de ( + ) que está no valor que o x precisa tender no limite indica que estamos nos aproximando daquele valor pelo lado DIREITO, ou seja, por valores que são MAIORES que x .

Agora que a gente entendeu o que significa aquele sinal de positivo ali, vamos seguir!!!

VEM COMIGOOO!

Passo 2

Essa parte agora é seguir o raciocínio parecido com o que temos sempre que fazer no primeiro passo em limites que é testar o valor que tem ali pra ver se vai dar alguma indeterminação.

No exercício, precisamos fazer x → 1 2 + , ou seja, precisamos fazer x tender a 1 2 por valores que são MAIORES que 1 / 2 , por exemplo, x = 0,500000000000001 .

Então vamos substituir isso no nosso limite e ver o que acontecerá?

lim x → 1 / 2 + ⁡ 3 0,500000000000001 + 1 4 ( 0,500000000000001 ) 2 - 1

Note que no numerador podemos aproximar 3 0,500000000000001 = 3 × 0,5 = 1,5

Ou seja, temos no NUMERADOR um valor de 1,5 .

Mas imagina ter que ficar toda hora fazendo isso, né. Então o legal é a gente fazer uma outra abordagem!

VEM COMIGOO!

Passo 3

Uma outra forma de você avaliar o limite quando temos esses limites laterais (o sinal de mais ou menos no valor que o x tende), é substituir o valor direto e aí sempre lembrar que ele é um valor que vai ser aproximado ou pela esquerda ou pela direita.

lim x → 1 2 + ⁡ 3 x + 1 4 x 2 - 1 = 3 1 2 + 1 4 1 4 - 1

Note que isso gerará:

5 2 1 - 1 = 5 2 0

Mas aí beleza, o denominador deu um valor que vai tender a zero, logo temos um número divido por algo que é muitooooo pequeno e próximo de zero, ou seja, a resposta disso aí é INFINITO.

Mas precisamos agora analisar o sinal.

O denominador é " 1 " - 1 . Porque eu coloquei esse “1”? Porque ele não é um 1 propriamente dito, né?

Se lembra que a gente obteve ele quando aproximamos x → 1 2 + , ou seja, quando colocamos um valor de x um pouquinho de nada maior que ½.

Em outras palavras, aquele “1” que tá ali, veio da nossa multiplicação de 4 1 2 2 , onde na verdade esse 1 / 2 é um pouquinho maior que 1 / 2 , ou seja, na verdade na verdade, esse 4 1 2 2 > 1 , concorda?

Logo, temos que na nossa conta " 1 " - 1 , o " 1 " > 1 . Logo, temos um valor no denominador que se aproxima de zero porééééééém, positivo!! Logo o infinito será também positivo uma vez que denominador e numerador são positivos.

5 2 0 = + ∞

lim x → 1 2 + ⁡ 3 x + 1 4 x 2 - 1 = + ∞

Resposta

lim x → 1 2 + ⁡ 3 x + 1 4 x 2 - 1 = + ∞

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