UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Profª Pamella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.2ij
Mostre que a função não tem limite quando .
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos as duas funções
e devemos calcular o limite de ambas quando , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com o limite
neste limite em particular é conveniente utilizar uma mudança de coordenadas, em nosso caso, coordenadas polares da forma
e
como não existe em que , temos que , portanto, nosso limite se torna
simplificando , temos que
Portanto, contanto que , temos que
Ou seja, na verdade, o limite existe sim! Vamos para a próxima!
Passo 3
Temos agora o limite
Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo, ou seja, , temos que o limite se torna
o limite portanto é
Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta , temos que
ou, simplesmente
ou seja, o limite é agora tal que
Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!