Mostre que a função z = f ( x , y ) não tem limite quando ( x , y ) → ( 0,0 ) .

( i )   z = x 3 + y 3 x 2 + y ( j )   z = x 2 y 2 x 3 + y 3

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( i )   z = x 3 + y 3 x 2 + y ( j )   z = x 2 y 2 x 3 + y 3

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 3 + y 3 x 2 + y

neste limite em particular é conveniente utilizar uma mudança de coordenadas, em nosso caso, coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

como não existe θ em que ( x , y ) → ( 0,0 ) , temos que r → 0 , portanto, nosso limite se torna

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 3 + y 3 x 2 + y = l i m r → 0 r 3 c o s 3 ( θ ) + r 3 s e n 3 ( θ ) r 2 c o s 2 ( θ ) + r   s e n ( θ ) = l i m r → 0 r 3 [ c o s 3 ( θ ) + s e n 3 ( θ ) ] r [ r c o s 2 ( θ ) +   s e n ( θ ) ]

simplificando r , temos que

l i m r → 0 r 3 [ c o s 3 ( θ ) + s e n 3 ( θ ) ] r [ r c o s 2 ( θ ) +   s e n ( θ ) ] = l i m r → 0 r 2 [ c o s 3 ( θ ) + s e n 3 ( θ ) ] [ r c o s 2 ( θ ) +   s e n ( θ ) ] = 0 0 + s e n ( θ )

Portanto, contanto que θ = n π / 2 , temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 3 + y 3 x 2 + y = 0

Ou seja, na verdade, o limite existe sim! Vamos para a próxima!

Passo 3

Temos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 3 + y 3

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x 2 y 2 x 3 + y 3 = x 2 0 2 x 3 + 0 3 = 1 x

o limite portanto é

l i m ( x , y = 0 ) → 0 1 x = ∞

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = x , temos que

x 2 y 2 x 3 + y 3 = x 2 x 2 x 3 + x 3 = x 4 2 x 3

ou, simplesmente

x 4 2 x 3 = x 2

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x ) → 0 x 2 = 0

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5