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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Profª Pamella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.2ab

Mostre que a função z = f ( x , y ) não tem limite quando ( x , y ) → ( 0,0 ) .

( a )   z = x + y x 2 + y 2 ( b )   z = x x 2 + y 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( a )   z = x + y x 2 + y 2 ( b )   z = x x 2 + y 2

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o seguinte limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x + y x 2 + y 2

apenas substituindo valores ( 0,0 ) , temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Portanto, precisamos reescrever a função acima! Se usarmos coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

podemos escrever que

l i m ( r , θ ) → ( ? ) x + y x 2 + y 2 = l i m ( r , θ ) → ( ? ) r   c o s ( θ ) + r   s e n ( θ ) r 2 c o s 2 ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ )

Como temos que c o s 2 ( θ ) + s e n 2 ( θ ) = 1 , podemos simplificar esse limite da seguinte maneira

l i m ( r , θ ) → ( ? ) r   c o s ( θ ) + r s e n ( θ ) r 2 = l i m ( r , θ ) → ( ? ) c o s ( θ ) + s e n ( θ ) r

Como temos que c o s ( θ ) e s e n ( θ ) nunca são 0 simultaneamente, é necessário que r → 0 para que ( x , y ) → ( 0,0 ) , portanto, o nosso limite se torna

l i m r → 0 c o s ( θ ) + s e n ( θ ) r = ∞

Beleza! O primeiro já foi! Vamos para o próximo!

Passo 3

Temos agora o seguinte limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x x 2 + y 2

Este é bastante análogo ao anterior, temos por coordenadas polares que

l i m r → 0 r   c o s ( θ ) r 2 c o s 2 ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ ) = l i m r → 0 c o s ( θ ) r = ∞

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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