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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

1b) Calcule os seguintes limites. Não é permitido o uso da regra de L’Hôspital:

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t 2 - 5 t + 6

Passo 1

A primeira coisa que a gente faz em qualquer limite é substituir e ver o que acontece. Partiu então:

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t 2 - 5 t + 6 = 2 2 - 2 . 2 + 8 2 2 - 5 . 2 + 6 = 4 - 4 + 8 4 - 10 + 6 = 8 0

Olha só, isso não é bem uma indeterminação. Se pegarmos um número e dividir por algo infinitamente pequeno, vamos achar um infinito. Agora, qual dos infinitos? Se tivermos infinitamente pequeno e positivo:

8 0 + = + ∞

E se tivermos infinitamente pequeno e negativo:

8 0 - = - ∞

A melhor forma de saber qual é mexer um pouco no limite. Então bora lá:

Passo 2

Saca só, o denominador é um polinômio de segundo grau que zera quando t = 2 . Ou seja, t = 2 é uma raiz dele. Bora achar a outra? Seja:

t 2 - 5 t + 6 = a t 2 + b t + c

E a fórmula de Bháskara:

t 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Podemos reescrever o polinômio para:

t 2 - 5 t + 6 = a t - t 1 t - t 2

E bem, como:

a = 1 b = - 5 c = 6

Achamos as raízes:

t 1,2 = - - 5 ± - 5 2 - 4 1 6 2 1

t 1,2 = 5 ± 25 - 24 2

t 1,2 = 5 ± 1 2 = 6 2 = 3 4 2 = 2

Fechamos então o polinômio reescrito, que fica:

t 2 - 5 t + 6 = t - 2 t - 3

Passo 3

Ok, mas e agora? Agora a gente põe o polinômio reescrito dentro do limite e mexe um pouco nele:

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t 2 - 5 t + 6 = lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t - 2 t - 3

Das propriedades dos limites, podemos fazer o seguinte:

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t - 2 t - 3 = lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t - 3 ∙ lim t → 2 + ⁡ 1 t - 2

Agora sim consigo ver direito se é + ou - ∞ . Saca só:

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t - 3 = 8 2 - 3 = 8 - 1 = - 8

lim t → 2 + ⁡ 1 t - 2 = 1 0 + = + ∞

Nosso limite então vai ser:

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t 2 - 5 t + 6 = lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t - 3 ∙ lim t → 2 + ⁡ 1 t - 2 = - 8 + ∞ = - ∞

Resposta

lim t → 2 + ⁡ t 2 - 2 t + 8 t 2 - 5 t + 6 = - ∞

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