Calcule os limites:

f) lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 2 x 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função 3 x - 2 x 2 - 1 quando x tende a - 1 - . Mas o quê que isso quer dizer?

Quer dizer que quanto mais x vai se aproximando de - 1 pela esquerda (ou seja, do lado negativo da reta numérica), se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?

É isso que nós vamos descobrir!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 2 x 2 - 1

Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o - 1 no lugar do x , vai ficar assim:

3 ( - 1 ) - 2 ( - 1 ) 2 - 1 = - 3 - 2 1 - 1 = - 5 0

Ou seja, temos uma indeterminação, porque nós sabemos que não dá pra ter divisão por zero, né? Beleza, então o que eu faço? Nós precisamos encontrar estratégias para fugir dessa indeterminação e transformar o nosso limite em algo simples de resolver.

A gente já viu que o nosso numerador tá ok, então vamos separar numerador e denominador em dois limites:

lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 2 x 2 - 1 = lim x → - 1 - ⁡ ( 3 x - 2 ) lim x → - 1 - ⁡ 1 x 2 - 1

A gente pode fazer isso porque existe uma propriedade que diz que o limite da divisão é igual a divisão dos limites. Beleza, e agora?

Agora nosso primeiro limite é fácil de resolver, basta a gente substituir - 1 ali que não tem problema. Mas o segundo limite ainda me gera uma indeterminação. Então vamos analisar o que está acontecendo.

No nosso limite, x se aproxima de - 1 pela esquerda, isso significa que estamos considerando valores menores que - 1 , ou seja,

x < - 1

Dessa forma, o nosso denominador x 2 - 1 vai ser sempre positivo, porque a gente vai ter um número muito pequeno ao quadrado, que vai dar um número menor ainda, e esse número sempre vai ser subtraído de - 1 . Percebe?

Como ele é sempre positivo, a gente pode escrever:

x 2 - 1 > 0

Nosso denominador é sempre positivo, mas muito próximo de zero, então a nossa função vai se aproximando de infinito, porque eu tenho um número constante dividindo outro cada vez menor em 1 x 2 - 1 . Assim, aplicando os limites, nós temos:

lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 2 ∙ lim x → - 1 - ⁡ 1 x 2 - 1

= 3 - 1 - 2 ∙ ∞

- 5 ∙ ∞

E pelas propriedades - c ∙ ∞ = - ∞ , onde - c é uma constante. Então:

lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 2 x 2 - 1 = - ∞

Encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

- ∞

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Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5