UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1, 2021.2 – 4f
Calcule os limites:
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função quando tende a . Mas o quê que isso quer dizer?
Quer dizer que quanto mais vai se aproximando de pela esquerda (ou seja, do lado negativo da reta numérica), se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?
É isso que nós vamos descobrir!
Passo 2
Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:
Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o no lugar do , vai ficar assim:
Ou seja, temos uma indeterminação, porque nós sabemos que não dá pra ter divisão por zero, né? Beleza, então o que eu faço? Nós precisamos encontrar estratégias para fugir dessa indeterminação e transformar o nosso limite em algo simples de resolver.
A gente já viu que o nosso numerador tá ok, então vamos separar numerador e denominador em dois limites:
A gente pode fazer isso porque existe uma propriedade que diz que o limite da divisão é igual a divisão dos limites. Beleza, e agora?
Agora nosso primeiro limite é fácil de resolver, basta a gente substituir ali que não tem problema. Mas o segundo limite ainda me gera uma indeterminação. Então vamos analisar o que está acontecendo.
No nosso limite, se aproxima de pela esquerda, isso significa que estamos considerando valores menores que , ou seja,
Dessa forma, o nosso denominador vai ser sempre positivo, porque a gente vai ter um número muito pequeno ao quadrado, que vai dar um número menor ainda, e esse número sempre vai ser subtraído de . Percebe?
Como ele é sempre positivo, a gente pode escrever:
Nosso denominador é sempre positivo, mas muito próximo de zero, então a nossa função vai se aproximando de infinito, porque eu tenho um número constante dividindo outro cada vez menor em . Assim, aplicando os limites, nós temos:
E pelas propriedades , onde é uma constante. Então:
Encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉