Mostre que a função z = f(x, y) não tem limite quando (x, y) → (0, 0) .

(c) z = |x| / (x - y^2) (d) z = (xy) / (2 * x^2 + 3 * y^2)

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( c )   z = | x | x - y 2 ( d )   z = x y 2 x 2 + 3 y 2

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o seguinte limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) | x | x - y 2

quando avaliamos limites em várias variáveis temos uma liberdade sobre o caminho que tomamos para chegar em ( 0,0 ) , e todos estes caminhos devem levar ao mesmo valor para que o limite exista! Analogamente aos limites laterais quando temos uma só variável! Aqui, podemos nos aproximar primeiro pelo caminho em que y = 0 (eixo x), portanto, temos que

| x | x - y 2 = | x | x

No entanto, o módulo é uma função tal que

f ( x ) = x ,   s e   x > 0 e f ( x ) = - x   s e   x < 0

Portanto, se vermos sobre o eixo x , mas pelos valores positivos, nosso limite será

l i m x → 0 + | x | x = l i m x → 0 + x x = 1

se vermos pelo outro lado, temos que

l i m x → 0 - | x | x = l i m x → 0 - - x x = - 1

Como os limites laterais são diferentes, temos que o limite não existe! A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima!

Passo 3

TEmos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x y 2 x 2 + 3 y 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x y 2 x 2 + 3 y 2 = x ( 0 ) 2 x 2 + 3 ( 0 ) 2 = 0

ou seja, temos que

l i m ( x , y = 0 ) → 0 x y 2 x 2 + 3 y 2 = 0

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = x , temos que

x y 2 x 2 + 3 y 2 = x ( x ) 2 x 2 + 3 ( x ) 2 = 1 5

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x ) → 0 x y 2 x 2 + 3 y 2 = 1 5

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! Portanto, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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