Verifique se existem os limites das seguintes funções em x = - 2 .

a) f x = x + 2 x + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f x = x + 2 x + 2 e pediu pra gente verificar se o limite dela existe quando x → - 2 . Como é que a gente pode verificar isso?

Bom, existe um teorema que nos diz que o limite lim x → a ⁡ f ( x ) = L só existe se, e somente se, os seus limites laterais também forem iguais, ou seja:

lim x → a - ⁡ f ( x ) = L = lim x → a + ⁡ f ( x )

Beleza, então o que gente tem que fazer é calcular esses limites laterais e ver se eles são iguais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite lateral pela esquerda:

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 - ⁡ x + 2 x + 2

O que significa esse limite pela esquerda? Significa que a gente tá calculando o limite para valores de x menores do que - 2 , valores negativos. Então, a nossa função modular x + 2 passa a ser negativa quando x → 2 - :

x + 2 = - ( x + 2 )

Então, o nosso limite fica assim:

lim x → - 2 - ⁡ x + 2 x + 2 = lim x → - 2 - ⁡ - x + 2 x + 2

E aí pra evitar indeterminação de substituir - 2 ali na função, a gente pode perceber que nós temos numerador e denominador iguais, só muda o sinal. Então, a gente pode simplificar antes de calcular o limite, e aí temos:

lim x → - 2 - ⁡ - x + 2 x + 2 = lim x → - 2 - ⁡ - 1

E o limite de uma constante é a própria constante, então:

lim x → - 2 - ⁡ - 1 = - 1

Legal, né? Agora vamos ver o limite pela direita.

Passo 3

Calculando o limite pela direita, temos:

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 + ⁡ x + 2 x + 2

Agora, como o limite vem da direita, a gente tá considerando valores maiores que - 2 . Dessa forma, a nossa função modular permanece positiva, e temos:

lim x → - 2 + ⁡ x + 2 x + 2 = lim x → - 2 + ⁡ x + 2 x + 2

Novamente a gente tem numerador e denominador iguais, então podemos simplificar a fração:

lim x → - 2 + ⁡ x + 2 x + 2 = lim x → - 2 + ⁡ 1

E o limite de uma constante é própria constante, isso é quase um mantra rs. Então, ficamos com:

lim x → - 2 + ⁡ 1 = 1

Agora percebe que os limite laterais deram valores diferentes?

lim x → - 2 - ⁡ x + 2 x + 2 = - 1

lim x → - 2 + ⁡ x + 2 x + 2 = 1

E como a gente tinha dito lá no passo 1 , quando isso acontece podemos dizer que o limite não existe em x = - 2 .

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

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Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5