UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1, 2021.2 – 6a
Verifique se existem os limites das seguintes funções em .
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função e pediu pra gente verificar se o limite dela existe quando . Como é que a gente pode verificar isso?
Bom, existe um teorema que nos diz que o limite só existe se, e somente se, os seus limites laterais também forem iguais, ou seja:
Beleza, então o que gente tem que fazer é calcular esses limites laterais e ver se eles são iguais.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o limite lateral pela esquerda:
O que significa esse limite pela esquerda? Significa que a gente tá calculando o limite para valores de menores do que , valores negativos. Então, a nossa função modular passa a ser negativa quando :
Então, o nosso limite fica assim:
E aí pra evitar indeterminação de substituir ali na função, a gente pode perceber que nós temos numerador e denominador iguais, só muda o sinal. Então, a gente pode simplificar antes de calcular o limite, e aí temos:
E o limite de uma constante é a própria constante, então:
Legal, né? Agora vamos ver o limite pela direita.
Passo 3
Calculando o limite pela direita, temos:
Agora, como o limite vem da direita, a gente tá considerando valores maiores que . Dessa forma, a nossa função modular permanece positiva, e temos:
Novamente a gente tem numerador e denominador iguais, então podemos simplificar a fração:
E o limite de uma constante é própria constante, isso é quase um mantra rs. Então, ficamos com:
Agora percebe que os limite laterais deram valores diferentes?
E como a gente tinha dito lá no passo , quando isso acontece podemos dizer que o limite não existe em .
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉