UTFPR - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Provas - Teste 9 - AV2 - 2022.1 - Questão 3 - Alternativa c)
Calcule:
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
O enunciado aqui não é muito detalhado, ele pede com que calculemos o seguinte
Ou seja, o limite com da função
Para resolver vamos primeiro utilizar algumas propriedades de limite, e aplicar o método de L’Hospital! Saca só!
Passo 2
Primeiro podemos utilizar a propriedade do limite de funções exponenciais, obtendo
Se avaliarmos em , obtemos uma indeterminação do tipo , para fugir disso, vamos utilizar a seguinte propriedade do logaritmo,
Podemos escrever nosso limite como
Utilizando agora que
podemos escrever o seguinte limite
Vamos reescrever o limite da seguinte forma, temos que
Com temos que o e o limite de , portanto, temos uma indeterminação do tipo e podemos aplicar L’Hospital! Vem comigo!
Passo 3
L’Hospital consiste em derivar o numerador e o denominador para simplificar o nosso limite! Da seguinte maneira
Usando a regra da cadeia
Temos em nosso caso que , portanto, temos que e , e . Ou seja, temos a seguinte derivada
Usando a regra do tombo para obter que
e, lembrando que
agora, aplicando a regra do tombo, temos que
como temos que , então a derivada em nosso numerador é tal que
Como temos que e , podemos simplificar a nossa derivada para obter
Essa é a derivada do numerador! Vamos agora fazer a outra!
Passo 4
A derivada do nosso denominador é tal que
Vamos utilizar estes dois resultados para reescrever nosso limite como
como temos que
Vamos ter que aplicar L’Hospital denovo!
Passo 5
Aplicando L’Hospital temos que
Usando a regra do tombo para a derivada no numerador, temos que
e, a regra da cadeia no denominador, assim como nos passos anteriores! Temos que
Aplicando regra da cadeia novamente, e lembrando que
a derivada do denominador pode ser escrita como
e o nosso limite se torna
Agora, temos que o limite pode ser avaliado e resulta em
Temos que o limite original toma a forma
Ou seja, no final das contas, temos que