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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Exercício 301234567891011121314151617181920212223242526272829313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1 – 2022.2 – Questão 3b.

  1. b) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da seguinte função:

f x = 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x

Passo 1

Faaaaala aí! Tudo certinho por aí?

Bora comigo pra mais uma questão!

O enunciado está pedindo pra gente descobrir as assíntotas horizontais e verticais dessa função. Correto?

Então precisaremos lembrar que as assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto de pontos “problemáticos” da função. Esses pontos problemáticos são justamente os pontos de descontinuidade.

Já para descobrir as assíntotas horizontais, precisamos saber se quando o x tende para ± ∞ , a função se aproxima de algum valor específico, sendo esse valor a nossa assíntota horizontal.

Então vem comigo que vou te ajudar a encontrar essas assíntotas aí.

Passo 2

Vamos começar procurando as assíntotas verticais, que são aquelas que ocorrem perto dos pontos de descontinuidade. No caso da função dada, isso ocorre quando o denominador é nulo, pois o denominador de uma fração nunca pode se zero.

Então podemos fazer:

x 2 - 3 x = 0

Colocando x em evidência, teremos:

x x - 3 = 0

O que nos dá duas possibilidades:

x = 0

ou

x - 3 = 0

x = 3

Isso mostra que temos duas assíntotas verticais: uma em x = 0 e outra em x = 3 . Podemos verificar se isso é realmente verdade calculando o limite da função nesses pontos. Caso ela vá pra ± ∞ , termos assíntotas verticais nesses pontos.

Passo 3

Para o caso de x = 0 , devemos calcular o limite:

lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x

= lim x → 0 - ⁡ 2 x 2 x + 1 x x 2 x - 3 x x

= lim x → 0 - ⁡ 2 x + 1 x x - 3

= 0 + - ∞ 0 - 3

= - ∞ - 3 = + ∞

E pela direita:

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x

= lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 x + 1 x x 2 x - 3 x x

= lim x → 0 + ⁡ 2 x + 1 x x - 3

= 0 + ∞ 0 - 3

= ∞ - 3 = - ∞

Portanto, podemos afirmar que x = 0 é uma assíntota vertical.

Agora faremos o mesmo para x = 3 :

lim x → 3 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x = lim x → 3 - ⁡ 2 x 2 + 1 x ( x - 3 ) = 9 2 + 1 3 ( 0 - ) = - ∞

lim x → 3 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x = lim x → 3 + ⁡ 2 x 2 + 1 x ( x - 3 ) = 9 2 + 1 3 ( 0 + ) = + ∞

Então x = 3 também é assíntota vertical.

Passo 4

Agora vamos as assíntotas horizontais calculando o limite no infinito:

l i m x → - ∞ 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x = l i m x → - ∞ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 - 3 x x 2 = l i m x → - ∞ 2 + 1 x 2 1 - 3 x = 2 + 0 1 - 0 = 2 1 = 2

l i m x → + ∞ 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x = l i m x → + ∞ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 - 3 x x 2 = l i m x → + ∞ 2 + 1 x 2 1 - 3 x = 2 + 0 1 - 0 = 2 1 = 2

Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 2 .

E assim concluímos mais uma questão.

Partiu olhar a próxima!!! 😊

Resposta

Verticais:

x = 0

x = 3

Horizontais:

y = 2

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