UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.41b
Avalie os limites abaixo e encontre seus valores caso existam:
(b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos pediu pra gente calcular o limite da função quando tende a zero pelo direita, ou seja, por valores positivos.
Pra isso, vamos tentar manipular um pouco a nossa função, pra sair da indeterminação , transformar nossa função em um quociente e, aplicando a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente), obter o valor do nosso limite.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar escrevendo nossa função como uma exponencial, na forma:
Como a exponencial do ln de alguma coisa é igual a , isso não altera função. Assim, usando as propriedades de logaritmo, podemos escrever:
Agora a gente pode usar uma propriedade que nos diz que se temos o limite de uma exponencial na forma , ele pode ser escrito como:
se ambos os limites forem finitos. Então, para o nosso caso, vamos ter:
Sabendo que , vamos precisar calcular apenas o limite do expoente.
Passo 3
Então, vamos calcular:
Podemos começar escrevendo esse produto como um quociente, pra conseguir aplicar a regra de L’Hospital e facilitar nossa vida. Fica assim:
Dessa forma, derivando em cima e embaixo separadamente, pela regra de L’Hospital, temos:
Simplificando:
E aplicando o valor do limite:
Então, voltando no nosso limite do final do passo , vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉