Avalie os limites abaixo e encontre seus valores caso existam:

(b) lim x → 0 + ⁡ x ( x 1 / 4 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra gente calcular o limite da função x ( x 1 / 4 ) quando x tende a zero pelo direita, ou seja, por valores positivos.

Pra isso, vamos tentar manipular um pouco a nossa função, pra sair da indeterminação 0 0 , transformar nossa função em um quociente e, aplicando a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente), obter o valor do nosso limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nossa função como uma exponencial, na forma:

lim x → 0 + ⁡ x ( x 1 / 4 ) = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x ( x 1 / 4 )

Como a exponencial do ln de alguma coisa é igual a 1 , isso não altera função. Assim, usando as propriedades de logaritmo, podemos escrever:

lim x → 0 + ⁡ e x 1 / 4 ln ⁡ x

Agora a gente pode usar uma propriedade que nos diz que se temos o limite de uma exponencial na forma lim x → a ⁡ f x g x , ele pode ser escrito como:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g ( x )

se ambos os limites forem finitos. Então, para o nosso caso, vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ e lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 ln ⁡ x

Sabendo que lim x → 0 + ⁡ e = e , vamos precisar calcular apenas o limite do expoente.

Passo 3

Então, vamos calcular:

lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 ln ⁡ x

Podemos começar escrevendo esse produto como um quociente, pra conseguir aplicar a regra de L’Hospital e facilitar nossa vida. Fica assim:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 1 / 4

Dessa forma, derivando em cima e embaixo separadamente, pela regra de L’Hospital, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 4 x 5 / 4

Simplificando:

lim x → 0 + ⁡ 1 x ∙ ( - 4 x 5 / 4 ) = lim x → 0 + ⁡ - 4 x 1 / 4

E aplicando o valor do limite:

- 4 0 1 4 = 0

Então, voltando no nosso limite do final do passo 2 , vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ e lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 ln ⁡ x = e 0

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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