Verifique que a função

f(x, y, z) = (x^2 + y^2 - z^2) / (x^2 + y^2 + z^2)

não tem limite na origem.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2

devemos calcular o limite desta função na origem, ou seja

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2

e, através deste processo, mostrar que a função não existe! Vamos lá!

Passo 2

Temos então que calcular

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2

Vamos nos aproximar da origem pelos diferentes eixos! Primeiro, pelo e i x o - x , quando y = z = 0 , temos que

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = l i m ( x , y = 0 , z = 0 ) → 0 x 2 + 0 2 - 0 2 x 2 + 0 2 + 0 2 = l i m ( x , y = 0 , z = 0 ) → 0 1

que pode ser calculado diretamente como

l i m ( x , y = 0 , z = 0 ) → 0 1 = 1

Se seguirmos pelo e i x o - y , obtemos o mesmo resultado fazendo o mesmo processo! No entanto, se seguirmos pelo e i x o - z , temos que

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = l i m ( x , y = 0 , z = 0 ) → 0 0 2 + 0 2 - z 2 0 2 + 0 2 + z 2 = l i m ( x , y = 0 , z = 0 ) → 0 - 1

que resulta em

l i m ( x , y = 0 , z = 0 ) → 0 - 1 = - 1

Portanto, limites diferentes, por caminhos diferentes! Indicam que o limite não existe na origem! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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