Para cada função a seguir, calcule lim x → a + ⁡ f ( x ) , lim x → a - ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ f ( x ) , caso exista.

f) f x = 2 x ( x - 1 ) x - 1   com a = 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e pede para verificarmos três limites (sendo dois laterais).

Mas e aí, o que são esses limites laterais??

Seguinte... Basicamente os limites laterais nada mais é do que o valor do qual uma função f ( x ) se aproxima conforme nos aproximamos de x pela direita ( x → a + ) ou pela esquerda ( x → a - ) . Isso é, assumindo valores maiores do que x e menores do que x .

Lembrando que, se esses dois limites laterais lim x → a + ⁡ f ( x )   e lim x → a - ⁡ f ( x ) existirem e forem iguais, então quer dizer que lim x → a ⁡ f ( x ) existe!!

Ficou confuso? Então vamos juntos que você vai entender direitinho 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiro fazer o limite quando ( x → 1 + ) :

lim x → 1 + ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1

Observação: quando x → 1 + então x - 1 > 0 . Assim, temos:

lim x → 1 + ⁡ 2 x ( x - 1 ) ( x - 1 ) =

lim x → 1 + ⁡ 2 x =

Substituindo o limite, temos:

2 ∙ 1 = 2

Agora vamos para o próximo!!

Passo 3

Seguinte... vamos primeiro fazer o limite quando ( x → 1 - ) :

lim x → 1 - ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1

Observação: quando x → 1 - então x + 1 < 0 . Assim, temos:

lim x → 1 - ⁡ 2 x ( x - 1 ) - ( x - 1 ) =

lim x → 1 - ⁡ - 2 x =

Substituindo o limite, temos:

- 2 ∙ 1 = - 2

Passo 4

Como os limites laterais lim x → 1 + ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 e lim x → 1 - ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 resultaram em valores diferentes, isso quer dizer que o limite lim x → 1 ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 não existe!!!

Matematicamente falando, podemos dizer:

lim x → 1 ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 = ∄

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 1 + ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 = - 2

lim x → 1 ⁡ 2 x ( x - 1 ) x - 1 = ∄

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