Calcule os limites abaixo, se existirem

f )   lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte, tipo receita de bolo:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x

Substituindo x = 0 na função dentro do limite temos:

1 + 0 - 1 - 0 0 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

E aqui começa a chuva de truque sujo! Hahaha

Quando tiver “raiz de x menos uma coisa” no denominador (ou no numerador, tanto faz) você vai lembrar de multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Saca só:

1 x + 2 + 3 × x + 2 - 3 x + 2 - 3

Pode parecer que não ficou mais simples, mas fica sim! A raiz vai sumir do denominador/numerador e vai levantar essa indeterminação pra vc! Confia!

Isso é pq a gente usa a seguinte propriedade dos produtos notáveis: a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Sempre a gente pode usar isso ta? Anota aí pra você usar depois!

Passo 3

No nosso caso:

lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x

Vamos multiplicar e dividir a função ali dentro do limite por 1 + x + 1 - x

1 + x - 1 - x x × 1 + x + 1 - x 1 + x + 1 - x = 1 + x 2 - 1 - x 2 x ( 1 + x + 1 - x )

Agora vamos arrumar o numerador e simplifica o que der:

1 + x - 1 - ( - x ) x ( 1 + x + 1 - x ) = 2 x x ( 1 + x + 1 - x ) = 2 ( 1 + x + 1 - x )

Beleza?

e aí a gente substitui lá no limite e simplifica o que dá:

lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - x x = lim x → 0 ⁡ 2 ( 1 + x + 1 - x )

Daí fica:

2 1 + 1 = 2 2 = 1

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Até a próxima!

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5