Mostre que a função z = f ( x , y ) não tem limite quando ( x , y ) → ( 0,0 ) .

( e )   z = x y 2 x 2 + y 4 ( f )   z = x x 2 + y 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( e )   z = x y 2 x 2 + y 4 ( f )   z = x x 2 + y 2

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x y 2 x 2 + y 4

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x y 2 x 2 + y 4 = x ( 0 ) 2 x 2 + ( 0 ) 4 = 0

ou seja, temos que

l i m ( x , y = 0 ) → 0 x y 2 x 2 + y 4 = 0

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a parábola x = y 2 , temos que

x y 2 x 2 + y 4 = ( y 2 ) y 2 ( y 2 ) 2 + y 4 = y 4 2 y 4

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , x = y 2 ) → 0 y 4 2 y 4 = 1 2

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! Portanto, o limite não existe! Vamos para o próximo agora!

Passo 3

Temos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x x 2 + y 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x x 2 + y 2 = x x 2 + 0 2 = x | x |

usando a definição x 2 = | x | . Agora, note que o módulo é uma função tal que

f ( x ) = x ,   s e   x > 0 e f ( x ) = - x   s e   x < 0

Portanto, se vermos sobre o eixo x , mas pelos valores positivos, nosso limite será

l i m x → 0 + x | x | = l i m x → 0 + x x = 1

se vermos pelo outro lado, temos que

l i m x → 0 - x | x | = l i m x → 0 - x - x = - 1

Como os limites laterais são diferentes, temos que o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados