Calcule os limites abaixo:

(a) lim x → 0 + ⁡ x C sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função x C sin ⁡ x , quando x tende a zero pela direita, ou seja, por números positivos. E é importante a gente dizer que esse é o único limite lateral que existe, porque para x < 0 a função x C sin ⁡ x não está definida.

Dito isso, vamos tentar manupular um pouco nossa expressão para encontrar o resultado. Pra isso, vamos começar escrevendo a função como uma exponencial:

x C sin ⁡ x = e ln ⁡ x C sin ⁡ x = e C sin ⁡ x ln ⁡ x

Vamos substituir isso no limite e tentar resolver.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo e C sin ⁡ x ln ⁡ x , vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ x C sin ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e C sin ⁡ x ln ⁡ x

Como a exponencial é uma função contínua, o limite da exponencial é a exponencial do limite e podemos escrever:

e lim x → 0 + ⁡ C sin ⁡ x ln ⁡ x

Então, vamos calcular apenas o limite do expoente:

lim x → 0 + ⁡ C sin ⁡ x ln ��� x

Passo 3

Considerando C constante:

C lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x

Vamos agora dividir e multiplicar a função por x , assim:

C lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x = C lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Como lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x é o limite fundamental, que tem valor 1 , temos:

C 1 ∙ lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

= C lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Além disso, o limite de x k ln h ⁡ x é igual a zero para qualquer k e h positivos. Então, o limite acima também será zero e teremos:

lim x → 0 + ⁡ x C sin ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ C sin ⁡ x ln ⁡ x

= e 0 = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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