3. Calcule os limites abaixo, se existirem.

c. lim x → - 2 - ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos um limite para resolver e ele tem essa cara aqui:

lim x → 2 - ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Antes de resolver é bom verificarmos se a função existe neste ponto! Repara que que temos um 3 x 2 - 5 x - 2 no denominador, e o denominador não pode zerar. Logo a função só não existe em:

3 x 2 - 5 x - 2 = 0

x 1 = 2

x 2 = 4 / 3

Note que a função não existe no ponto x = 2 . Então vamos avaliar seu limite tendendo pela esquerda!

Passo 2

Para resolver esse limite podemos substituir direto:

lim x → 2 - ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2 = 2 2 + 3 2 - 10 3 2 2 - 5 2 - 2 = 0 0

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Então vamos reescrever esse limite para sairmos dessa indeterminação.

Passo 3

Para reescrevermos cada polimonio temos que lembrar do seguinte produto de um polinômio e segundo grau:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde, x 1 e x 2 são as raízes da equação.

Para o polinômio o numerador teremos:

x 2 + 3 x - 10 = 0

x 1 = 2

x 2 = - 5

Logo, temos que

x 2 + 3 x - 10 = x - 2 x + 5

Já para o denominador, nós já calculamos x 1 e x 2 no Passo 1. Então fica assim:

3 x 2 - 5 x - 2 = x - 2 x - 4 3

Agora vamos reescrever o limite!

Passo 4

Substituindo as igualdades ficamos com

lim x → 2 - ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 5 x - 2 x - 4 3

Simplificando ficamos com

lim x → 2 - ⁡ x + 5 x - 4 3

Repara que indepente de por onde nos aproximarmos de 2 , a função tenderá para o mesmo valor. Logo:

lim x → 2 - ⁡ x + 5 x - 4 3 = 21 2

Pronto!

Resposta

21 2

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