UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 6d
Calcule os limites:
d)
Passo 1
Oi oi oi pessoal, todo mundo bemm?
Precisamos calcular o seguinte limite:
Ou seja, é um limite de uma função de duas variáveis!
Mas, isso não muda a nossa primeira etapa, que continua sendo substituir os valores de e dentro do limite:
Olha que baita novidade... outra indeterminação matemática haha!
Como temos uma indeterminação, precisaremos calcular esse limite de outra forma. Vocês têm alguma ideia?
Então gente, antes de tudo precisamos pensar se esse limite existe ou não!
Podemos comparar o expoente máximo do numerador e do denominador. Se o expoente do numerador for menor ou igual ao do denominador, é porque provavelmente esse limite não existe.
Já se ele for maior do que o do denominador é um indício de que provavelmente (é apenas um indício, não uma certeza) o limite existe.
No nosso caso, temos:
O expoente máximo do numerador é , e do denominador é . Assim, provavelmente o limite existe.
Nessa situação, uma boa ideia é pensarmos no Teorema do Sanduíche.
Se mostrarmos que:
está sempre entre duas funções (as quais conhecemos o seu valor quando e tendem a ), podemos determinar o valor do nosso limite de interesse.
Vem junto comigo que vai ficar mais claro o que estamos falando 😊
Passo 2
Temos a função de duas variáveis:
Queremos mostrar que ela é limitada entre outras duas funções.
Em geral, essa ideia está relacionada a usar truques como:
E coisas do tipo. Vocês conseguem ver como podemos usar isso nesse caso?
Se olharmos direitinho:
Mas,
Daí:
Simplificando um pouco:
Portanto:
omo todos os expoentes são pares, e a raiz no denominador resulta em um número positivo, podemos logo dizer que:
Juntando tudo:
Massa! Encontramos duas funções que restringem a função de interesse. Agora precisamos apenas aplicar o limite!
Passo 3
Bom, aplicando o limite quando , vamos ter:
O bom, e também fundamental quando aplicamos o teorema do sanduíche, é que essas funções dos extremos são tranquilas de calcularmos o limite.
E:
Substituindo os valores de e :
Perfeito! Voltando então para a desigualdade temos:
Portantoooooo:
E, é isso aí gente! Matamos mais uma questão!
Vocês curtiram? Responde Aí!