Mostre que a função z = f(x, y) não tem limite quando (x, y) → (0, 0) .

(k) z = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2) (l) z = (x^4 + y^2 + 2xy^3) / (x^2 + y^2)^2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( k )   z = x 2 - y 2 x 2 + y 2 ( l )   z = x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 2 - y 2 x 2 + y 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x 2 - y 2 x 2 + y 2 = x 2 - 0 2 x 2 + 0 2 = 1

o limite portanto é

l i m ( x , y = 0 ) → 0 1 = 1

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = x , temos que

x 2 - y 2 x 2 + y 2 = x 2 - x 2 x 2 + x 2 = 0

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x ) → 0 0 = 0

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! Vamos para a próxima!

Passo 3

Temos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + 0 2 + 2 x 0 3 ( x 2 + 0 2 ) 2 = 1

o limite portanto é

l i m ( x , y = 0 ) → 0 1 = 1

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = x , temos que

x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + x 2 + 2 x x 3 ( x 2 + x 2 ) 2 = 3 x 4 + x 2 4 x 4

ou, simplesmente

3 x 4 + x 2 4 x 4 = 3 4 + 1 4 x 2

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x ) → 0 3 4 + 1 4 x 2 = 3 4 + ∞ = ∞

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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