Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → - 1 ⁡ 3 x + 1 - 5 x 2 - 1

Passo 1

Começamos sempre tentando substituir x .

lim x → - 1 ⁡ 3 x + 1 - 5 x 2 - 1 = 3 - 1 + 1 - 5 - 1 2 - 1 = 3 0 - 5 0

Quocientes com denominador nulo? Não pode, né? Então vamos resolver esse limite de outra forma.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio x 2 - 1 . Pra isso, temos que achar suas raízes.

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = 1   e   x = - 1

Então,

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Passo 3

Agora podemos reescrever o limite dessa forma:

lim x → - 1 ⁡ 3 x + 1 - 5 ( x - 1 ) ( x + 1 )

Vamos fazer o MMC e juntar as frações.

l i m x → - 1 3 x - 1 - 5 ( x - 1 ) ( x + 1 )

Passo 4

Observe que, substituindo x , apenas o termo ( x + 1 ) se anula e causa problema à função. Por isso, vamos separá-lo do resto.

l i m x → - 1 3 x - 1 - 5 x - 1 . 1 ( x + 1 )

Pela propriedade dos limites, isso pode ser reescrito assim:

l i m x → - 1 3 x - 1 - 5 x - 1 . l i m x → - 1 1 ( x + 1 )

Passo 5

l i m x → - 1 3 x - 1 - 5 x - 1 = 3 - 1 - 1 - 5 ( - 1 - 1 ) = 11 2

Passo 6

Para terminar, vamos resolver

l i m x → - 1 1 ( x + 1 )

Esse limite vai depender do lado pelo qual x tende a - 1 . Isso significa que temos que fazer os limites laterais.

l i m x → - 1 - 1 ( x + 1 ) = 1 0 - = - ∞

l i m x → - 1 + 1 ( x + 1 ) = 1 0 + = + ∞

Como os limites laterais não são iguais, o limite não existe.

Resposta

N ã o   e x i s t e

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