Sem usar a regra de L’Hospital, calcule o limite ou prove que não existe:

lim x  → 1 ⁡ x ( x 2 - 1 ) x 2 - 1

Passo 1

Substituindo o x por 1 no limite vamos chegar à indeterminação 0 0 , então temos que mexer nele pra sair dessa furada.

Como ele possui módulo, a primeira coisa a se fazer é tentar tirar esse módulo, escrevendo ele de uma maneira equivalente. Observe que:

  • Se x > 1   então x 2   - 1 > 0 e a expressão fica:
  • x ( x 2 - 1 ) x 2 - 1

  • Se 0 < x < 1 então x 2   - 1 < 0 e a expressão fica:

x ( x 2 - 1 ) - ( x 2 - 1 )

Passo 2

Agora é só resolver o limite para cada uma das expressões.

Só não podemos esquecer que para a primeira expressão foi dada a condição x > 1 e para a segunda foi dada a condição 0 < x < 1 , então, na verdade, vamos ter que fazer os limites LATERAIS! Olha só como vai ficar:

lim x  →   1 + ⁡ x ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 = l i m x   →   1 + x = 1  

E

l i m x   →   1 - x ( x 2 - 1 ) - ( x 2 - 1 ) = l i m x   →   1 - x - 1 =   l i m x   →   1 - - x =   - 1  

E aí, já que os limites laterais são diferentes, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5