Mostre que

a) lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 1 - cos ⁡ x y x = 0 . Use 1 + cos ⁡ x y como fator de racionalização.

Passo 1

Faaaaala povo bonito, como é que estão as coisas por aí?

Nessa questão precisamos demonstrar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x = 0

Para isso, o enunciado nos manda usar o fator:

( 1 + c o s x y )

como fator de racionalização.

Massa! Então, precisamos resolver um limite de função de duas variáveis.

Como sempre, começamos substituindo o valor que ( x , y ) está tendendo dentro da nossa função. Isso nos dá que:

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x = 1 - cos ⁡ 0 0 = 0 0

Ou seja, uma indeterminação matemática. Então, realmente vamos precisar usar outras técnicas e a ideia principal vai ser seguir a sugestão do problema e utilizar o fator de racionalização, beleza?

Então, vamo nessa!

Passo 2

Bom gente, temos a expressão:

1 - cos ⁡ x y x

Para usar ( 1 + c o s x y ) como fator de racionalização precisamos multiplicar a nossa expressão por:

1 + c o s x y 1 + c o s x y

Assim, ficaremos com:

1 - cos ⁡ x y x ⋅ 1 + c o s x y 1 + c o s x y

No numerador temos o produto:

1 - cos ⁡ x y ⋅ ( 1 + c o s x y )

Isso daí é exatamente aquele produto notável da diferença de quadrados, lembra?

1 - y ⋅ 1 + y = 1 - y 2

Pois então, usando essa ideia, vamos ficar com:

1 - cos ⁡ x y x ⋅ 1 + c o s x y 1 + c o s x y = 1 - cos 2 ⁡ x y x ⋅ 1 + cos ⁡ x y

Maaaas, pela relação fundamental da trigonometria, temos que:

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Logo, podemos escrever que:

1 - cos 2 ⁡ x y x ⋅ 1 + cos ⁡ x y = s e n 2 x y x ⋅ 1 + cos ⁡ x y

Perfeito! Isso já está ficando bem bonito, porque tem um limite fundamental bem conhecido que estudamos nas funções de uma variável: o limite fundamental trigonométrico. Segundo ele:

lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1

“Ué, mas nossa função é de duas variáveis e nem tá aparecendo isso ainda na expressão que encontramos!!”

Verdade pessoal, mas tem alguns truques legais que podemos usar. Se liga só:

s e n 2 x y x ⋅ 1 + cos ⁡ x y = s e n x y x ⋅ s e n x y x ⋅ 1 1 + cos ⁡ x y

Se multiplicarmos por y y , podemos organizar pra ficar com:

s e n x y x ⋅ s e n x y x ⋅ 1 1 + cos ⁡ x y ⋅ y y = s e n x y x y ⋅ s e n x y x y ⋅ y 1 + cos ⁡ x y

Essa expressão é maravilhosa gente! Hahaha

Bora colocar o limite novamente na jogada e ver o que podemos fazer pra matar isso aí!

Passo 3

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x = lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x y x y ⋅ s e n x y x y ⋅ y 1 + cos ⁡ x y

Como o limite do produto é o produto do limite (isso se cada limite existir separadamente), temos que:

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x y x y ⋅ s e n x y x y ⋅ y 1 + cos ⁡ x y

= lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x y x y ⋅ lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x y x y ⋅ lim x , y → 0,0 ⁡ y 1 + cos ⁡ x y

Aí agora vem o truque master!

Podemos, nos dois primeiros limites fazer:

x y = u

Assim, como x , y → ( 0,0 ) , teremos:

u = x y → 0

Logo, ficaremos com:

lim u → 0 ⁡ s e n ( u ) u ⋅ lim u → 0 ⁡ s e n ( u ) u ⋅ lim x , y → 0,0 ⁡ y 1 + cos ⁡ x y

Daí agora é só resolvermos esses limites um a um:

lim u → 0 ⁡ s e n ( u ) u = 1

Pois, esse é o próprio limite fundamental trigonométrico (que havíamos comentado antes).

lim x , y → 0,0 ⁡ y 1 + cos ⁡ x y

Podemos substituir os valores que ( x , y ) estão tendendo, pois já conseguimos remover a indeterminação. Assim:

lim x , y → 0,0 ⁡ y 1 + cos ⁡ x y = 0 1 + cos ⁡ 0 = 0

(Obs: Agora que resolvemos os limites separadamente, vimos que eles existem e são finitos. Portanto, usar aquela propriedade do limite do produto ser o produto do limite é bem válido 😊)

Massa! Agora juntando tudo que chegamos, vem:

lim u → 0 ⁡ s e n u u ⋅ lim u → 0 ⁡ s e n u u ⋅ lim x , y → 0,0 ⁡ y 1 + cos ⁡ x y = 1 ⋅ 1 ⋅ 0

= 0

Portanto:

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - cos ⁡ x y x = 0

Como queríamos provar! Hahaha

É isso aí gente! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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