UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.6a
Mostre que
a) . Use como fator de racionalização.
Passo 1
Faaaaala povo bonito, como é que estão as coisas por aí?
Nessa questão precisamos demonstrar que:
Para isso, o enunciado nos manda usar o fator:
como fator de racionalização.
Massa! Então, precisamos resolver um limite de função de duas variáveis.
Como sempre, começamos substituindo o valor que está tendendo dentro da nossa função. Isso nos dá que:
Ou seja, uma indeterminação matemática. Então, realmente vamos precisar usar outras técnicas e a ideia principal vai ser seguir a sugestão do problema e utilizar o fator de racionalização, beleza?
Então, vamo nessa!
Passo 2
Bom gente, temos a expressão:
Para usar como fator de racionalização precisamos multiplicar a nossa expressão por:
Assim, ficaremos com:
No numerador temos o produto:
Isso daí é exatamente aquele produto notável da diferença de quadrados, lembra?
Pois então, usando essa ideia, vamos ficar com:
Maaaas, pela relação fundamental da trigonometria, temos que:
Logo, podemos escrever que:
Perfeito! Isso já está ficando bem bonito, porque tem um limite fundamental bem conhecido que estudamos nas funções de uma variável: o limite fundamental trigonométrico. Segundo ele:
“Ué, mas nossa função é de duas variáveis e nem tá aparecendo isso ainda na expressão que encontramos!!”
Verdade pessoal, mas tem alguns truques legais que podemos usar. Se liga só:
Se multiplicarmos por , podemos organizar pra ficar com:
Essa expressão é maravilhosa gente! Hahaha
Bora colocar o limite novamente na jogada e ver o que podemos fazer pra matar isso aí!
Passo 3
Como o limite do produto é o produto do limite (isso se cada limite existir separadamente), temos que:
Aí agora vem o truque master!
Podemos, nos dois primeiros limites fazer:
Assim, como , teremos:
Logo, ficaremos com:
Daí agora é só resolvermos esses limites um a um:
Pois, esse é o próprio limite fundamental trigonométrico (que havíamos comentado antes).
Podemos substituir os valores que estão tendendo, pois já conseguimos remover a indeterminação. Assim:
(Obs: Agora que resolvemos os limites separadamente, vimos que eles existem e são finitos. Portanto, usar aquela propriedade do limite do produto ser o produto do limite é bem válido 😊)
Massa! Agora juntando tudo que chegamos, vem:
Portanto:
Como queríamos provar! Hahaha
É isso aí gente! Curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.