Calcule os limites abaixo, se existirem

b )   lim x → 2 - ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Se substituirmos x = 2 em cima e embaixo vamos achar 0 / 0 , ou seja, uma indeterminação. Então isso é um indicativo que precisamos manipular essa função pra poder calcular esse limite. Manipular frequentemente significa fatorar polinômios, então bora!

Vamos fatorar esses dois polinômios (o do numerador e o do denominador). Começando pelo do numerador, vamos usar a fórmula de Bhaskara pra achar as raízes:

x 2 + 3 x - 10 = 0

x = - 3 ± 3 2 - 4.1 . - 10 2.1 = - 3 ± 49 2 = - 3 ± 7 2

Então as raízes são

x 1 = - 5

x 2 =   2

Com as raízes, temos que a forma fatorada é ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) , ou seja:

x 2 + 3 x - 10 = ( x + 5 ) ( x - 2 )

Agora vamos fazer a mesma coisa o polinômio do denominador:

3 x 2 - 5 x - 2 = 0

x = - ( - 5 ) ± ( - 5 ) 2 - 4.3 . - 2 2.3 = 5 ± 49 6 = 5 ± 7 6

Então as raízes são

x 1 = - 1 3

x 2 = 2

E a forma fatorada é:

3 x 2 - 5 x - 2 = 3 x + 1 3 x - 2

Passo 2

Substituindo as formas fatoradas no limite:

lim x → 2 - ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ ( x + 5 ) ( x - 2 ) 3 x + 1 3 x - 2

Podemos cancelar o termo ( x - 2 ) e ficamos com:

lim x → 2 - ⁡ ( x + 5 ) 3 x + 1 3

E esse termo que a gente cortou era justamente o termo que zerava tudo quando fizemos x = 2 .

Como levantamos a indeterminação, fica tranquilo calcular o limite!

Passo 3

Agora é só substituir x = 2 no limite:

lim x → 2 - ⁡ ( x + 5 ) 3 x + 1 3 = ( 2 + 5 ) 3 2 + 1 3 = 7 3 ( 7 3 ) = 7 7 = 1  

Pronto! Conseguimos calcular esse limite!

Espero ter ajudado!

Resposta

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