UFCG; Cálculo 1; Lista-1; Limites e continuidade; questão 2c
Calcule os limites , e caso exista.
Onde
e
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular uma série de limites. Bem, vamos dar uma revisadinha na noção de limite? Bora!
Bem, quando estamos querendo saber o valor de um limite, nós queremos saber como a função se comporta ao redor de um certo ponto e não o valor do ponto em si. E como fazemos isso? Podemos analisar pontos cada vez mais próximos do nosso ponto de interesse e verificar o que está acontecendo. Até aqui blz? Agora eu faço a pergunta, o que significa calcular
,
Bem, quando queremos olhar , o que estamos fazendo é verificando o comportamento da função para valores à esquerda de , isto é para valores muito próximo de , mas menores que . E de forma análoga, o que estamos fazendo é verificando o comportamento da função para valores a direita de .
Agora, será que esses limites, , , tem alguma relação com ?
A resposta é sim!! Na verdade o só é definido se
E dizemos que
ou
Agora que fizemos essa revisão conceitual. Vamos calcular o nosso limite de interesse.
Passo 2
O enunciado nos pede para calcular , e caso exista.
Onde
e
Bem, já vimos no passo 1 que a noção de limite tem haver com o comportamento ao redor do ponto. Então vamos começar calculando
Bem, queremos observar como a função se comporta para valores à esquerda de. Mas para valores menores que , a função é definida como
Então queremos
Que é podemos calcular vendo para onde cada termo da soma converge (Linearidade do limite). Então
Para muito próximo de , mas menor que , temos
Isso implica que
Passo 3
No passo anterior, obtemos que
Agora, vamos calcular
Bem, queremos observar como a função se comporta para valores à direita de. Mas para valores maiores que , a função é definida como
Então queremos
Que é tranquilo de calcular, pois para valores bem próximos de , temos que . Então
Isso implica que
E por fim, podemos calcular . Mas lembra que no passo 1 revisamos que esse limite só é bem definido se
?
E como descobrimos, temos que
Logo não existe
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊