UFF, Cálculo IA-Lista 3, GMA, 2008-1, Questão 4
Se para todo e , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contraexemplo.
(a) não existe
(b)
(c) Se existir, é positivo
Passo 1
Vamos analisar a primeira afirmativa: não existe
Com os dados descritos no enunciado, não podemos dizer que essa afirmativa é verdadeira, pois o limite pode sim existir. O jeito mais fácil de provar isso é usar como contraexemplo uma função definida por partes que seja sempre positiva quando e igual a quando . Essa função pode ser
Observe que
Portanto ele existe e, por isso, a afirmativa (a) é falsa.
Passo 2
A afirmativa (b) diz que . A função usada no item anterior invalida essa afirmativa, pois
Então, como essa função atende às condições do enunciado e possui o limite com tendendo a diferente de , isso é suficiente para dizer que a afirmativa (b) nem sempre é verdadeira, logo é falsa.
Passo 3
A função
também serve como contraexemplo para a afirmativa (c), pois, nesse caso
Isso mostra que não necessariamente é positivo, portanto a afirmativa (c) é falsa.
Resposta
- Falsa
- Falsa
- Falsa