Calcule os limites abaixo, se existirem

k )   lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 x 2 - x

Passo 1

Fala galera, belezinha?

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte, tipo receita de bolo:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 x 2 - x

Vou fazer o mmc entre essas duas frações:

1 x - 1 x 2 - x

Vai ser x 2 - x , pois podemos dividir x 2 - x tanto por x , quando por ele mesmo. Dai juntando ficamos assim:

1 x - 1 x 2 - x = x + 1 - 1 x 2 - x = x x 2 - x = 1 x - 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos jogar essa função simplificada de volta no limite original:

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 x 2 - x

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1

E agora podemos substituir x por 0 sem ter uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 = 1 0 + 1 = 1

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

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