A função f é tal que para x ≠ 2 , f satisfaz

1 + 4 x - x ² ≤ f x ≤ x ² - 4 x + 9

Calcule lim x → 2 ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Cara, sempre que você precisar calcular um limite e a sua função estiver limitada por outras duas, ou seja, tiver aquelas desigualdades alí do enunciado, a boa é usar o teorema do confronto!

Ele diz que se g x ≤ f x ≤ h ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L , então

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Muita matemática? Relaxa que a parada é o seguinte: se as funções dos extremos vão para um lugar o limite do meio vai pro mesmo lugar!

Passo 2

Agora, vamos fazer os limites das funções dos extremos

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9

Primeiro a gente sempre substitui o valor do ponto na função e vê o que rola

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2 = 1 + 4 ⋅ 2 - 2 2 = 5

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9 = 2 2 - 4 ⋅ 2 + 9 = 5

Passo 3

Como os limites são iguais, pelo teorema do confronto:

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

Resposta

5

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