A função f é tal que para x ≠ 2 , f satisfaz

1 + 4 x - x ² ≤ f x ≤ x ² - 4 x + 9

Calcule lim x → 2 ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Cara, sempre que você precisar calcular um limite e a sua função estiver limitada por outras duas, ou seja, tiver aquelas desigualdades alí do enunciado, a boa é usar o teorema do confronto!

Ele diz que se g x ≤ f x ≤ h ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L , então

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Muita matemática? Relaxa que a parada é o seguinte: se as funções dos extremos vão para um lugar o limite do meio vai pro mesmo lugar!

Passo 2

Agora, vamos fazer os limites das funções dos extremos

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9

Primeiro a gente sempre substitui o valor do ponto na função e vê o que rola

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2 = 1 + 4 ⋅ 2 - 2 2 = 5

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9 = 2 2 - 4 ⋅ 2 + 9 = 5

Passo 3

Como os limites são iguais, pelo teorema do confronto:

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

Resposta

5

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5