UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – 3° Estágio – Questão 4
Calcule o seguinte limite
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu esse limite aqui
E pediu para calcularmos!
Nosso primeiro instinto é substituir por e ver no que dá né
Opa! Encontramos uma indeterminação! Mas espera um segundo... esse limite não é familiar?
É parecido com um dos limites fundamentais do cálculo! Esse aqui
É a definição do número de Euler!
Então a ideia é usar uma mudança de variável para poder usar esse limite fundamental e achar uma resposta em termos de !
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
Nosso limite é
Vamos fazer uma mudança de variáveis para termos ao invés de ter :
Tudo bem até aqui?
Quando , também .
Agora vamos substituir no nosso limite
Beleza?
Passo 3
Por fim, vamos usar um truquinho sujo: o limite é um operador linear, portanto ele pode ir para dentro das potências. E lembrando que potência de potência, os expoentes se multiplicam, nosso limite fica assim
E ali dentro dos colchetes temos justamente a definição de !
Que é nosso resultado!
Belezinha? É isso! Espero ter ajudado!
Até a próxima!