Calcule o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

E pediu para calcularmos!

Nosso primeiro instinto é substituir x por e ver no que dá né

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = 1 + 2 ∞ ∞ = 0 ∞

Opa! Encontramos uma indeterminação! Mas espera um segundo... esse limite não é familiar?

É parecido com um dos limites fundamentais do cálculo! Esse aqui

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

É a definição do número de Euler!

Então a ideia é usar uma mudança de variável para poder usar esse limite fundamental e achar uma resposta em termos de e !

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Nosso limite é

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Vamos fazer uma mudança de variáveis para termos 1 / u ao invés de ter 2 / x :

1 u = 2 x → u = x 2 → x = 2 u

Tudo bem até aqui?

Quando x → ∞ , u = x / 2 também → ∞ .

Agora vamos substituir no nosso limite

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 2 u

Beleza?

Passo 3

Por fim, vamos usar um truquinho sujo: o limite é um operador linear, portanto ele pode ir para dentro das potências. E lembrando que potência de potência, os expoentes se multiplicam, nosso limite fica assim

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 2 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2

E ali dentro dos colchetes temos justamente a definição de e !

= e 2

Que é nosso resultado!

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2

Belezinha? É isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2

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