UFES, 2018.1, Lista 5, Q04
04) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Eaí minha gente, tudo bom com vocês?
O primeiro passo é sempre substituir pelo valor que ele está tendendo, no caso, vamos fazer .
Temos uma indeterminação matemática ☹Vamos precisar pensar mais um pouco.
Passo 2
O que temos aqui é um quociente de dois polinômios, no denominador é raiz dupla e a indeterminação matemática vem justamente desse termo. A ideia nesse tipo de questão é tentar fatorar os polinômios de modo a cancelar o termo que está nos trazendo problema.
Para fatorar polinômios é muito importante ter em mente o teorema da decomposição, que vamos relembrar agora:
Se for um polinômio de grau onde são raízes de , então a gente pode escrever:
Esse teorema é bem importante no assunto atual, então vamos deixar ele bem guardado na memória. E aproveitando, bora fatorar os polinômios dessa questão:
Como também é raiz:
Já o denominador pode ser fatorado como:
Passo 3
Agora que já fatoramos os polinômios, podemos substituí-los no limite e torcer para que isso cancele a indeterminação:
Melhorou um pouco. Mesmo que o denominador ainda esteja zerando, o numerador não é mais igual a zero quando . Assim, nós podemos analisar os limites laterais:
Opa, olha que interessante. Os limites laterais são diferentes, isso significa que o limite que estamos tentando calcular na verdade não existe!
Resposta
Não existe, pois os limites laterais em não são iguais.