Determine os limites a seguir:

f) lim x → + ∞ ⁡ ( x + 1 ) 1 ln ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = ( x + 1 ) 1 ln ⁡ x quando o valor de x se aproxima de infinito pela direita, ou seja, ele vai crescendo infinitamente.

Repare que a gente tem uma indeterminação no expoente. Sendo assim, temos que fugir dessa indeterminação. Para isso, vamos manipular um pouquinho nossa função e calcular o limite usando a regra de L’Hospital.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x

Vamos calcular o ln da função:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 1 ln ⁡ x

Então, pela propriedade do ln, podemos descer esse expoente multiplicando:

lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ln ⁡ x + 1

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x

Agora vamos jogar nossa função na exponencial, que é a inversa da função logaritmo:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x

Vamos precisar usar L’Hospital no expoente da função pra fugir da indeterminação. Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

lim x → + ∞ ⁡ e 1 x + 1 1 x

Simplificando:

lim x → + ∞ ⁡ e x x + 1

Dividindo cada termo do expoente por x :

lim x → + ∞ ⁡ e 1 1 + 1 x

Repare que quando x → + ∞ , temos 1 x → 0 . Assim,

= e 1 1 + 0

= e

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ( x + 1 ) 1 ln ⁡ x = e

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