Assinale a solução geral do sistema

x + y + z = 1 x - y + z =   - 3

(a) - 1 , - 2,0   +   < - 1,0 , 1 >

(b) - 1,2 , 0   +   < - 1,0 , 1 >

(c) - 1,2 , 0   +   < - 1,0 , 1 ,   - 1,1 , 0 >

(d) ( - 1 , - 2,0 )   +   < - 1,0 , 1 ,   - 1,1 , 0 >

Passo 1

A questão foi direto ao ponto: precisamos resolver o sistema linear dado por:

x + y + z = 1 x - y + z =   - 3

Passo 2

Existem várias maneiras de resolver esse sistema. Aqui vamos fazer assim: vamos isolar o z na primeira equação e depois substituir na segunda.

Isolando z na equação de cima, temos:

x + y + z = 1   ⇒ z = 1 - x - y

Substituindo na equação de baixo:

x - y + z =   - 3   ⇒ x - y +   1 - x - y = - 3

x - y + 1 - x - y =   - 3   ⇒   - 2 y =   - 4   ⇒   y = 2

Passo 3

Beleza, agora vamos reescrever o sistema substituindo esse valor encontrado para y. Fazendo isso:

x + y + z = 1 x - y + z =   - 3   ⇒   x + 2 + z = 1 x - 2 + z =   - 3   ⇒   x + z = - 1 x + z =   - 1

Ou seja, conseguimos relacionar as variáveis x e z através de:

x + z = - 1   ⇒ x =   - 1 - z

Passo 4

Agora não temos muito o que fazer. Vamos escrever o vetor (x,y,z) que é solução do sistema.

Como achamos nos passos anteriores, x =   - 1 - z   e y = 2 . Substituindo isso no nosso vetor (x,y,z), temos:

x , y , z = - 1 - z , 2 , z

Agora vamos separar esse vetor em dois: em um deles colocamos as constantes e no outro os termos que tem z, assim:

x , y , z = - 1,2 , 0 + - z , 0 , z

Notem que se somarmos os dois vetores do lado direito temos de volta o vetor que escrevemos antes! Isso é, não alteramos nosso vetor.

Colocando a variável z pra fora do segundo vetor do lado direito:

x , y , z = - 1,2 , 0 + z ( - 1,0 , 1 )

Como o z é uma variável livre, temos que o segundo termo do lado direito é na verdade o espaço gerado pelo vetor (-1,0,1):

x , y , z = - 1,2 , 0 + < - 1,0 , 1 >

que é a resposta da questão, que está na letra (b)!

Resposta

(b) - 1,2 , 0   +   < - 1,0 , 1 >

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