Considere o sistema linear de equações

1. Determine e para que o sistema tenha infinitas soluções.
2. Determine e para que o sistema não tenha solução.
3. Ache a solução do sistema quando e .

Então saca só, pra escalonar um sistema, primeiro devemos passar ele pra forma matricial, logo:

Escalonando a segunda linha, temos:

Agora para a terceira linha, temos:

E agora ficou divertido nossa matriz, podemos manipular os resultados de acordo com o que queremos. Por exemplo, na letra(a), queremos que o sistema tenha infinitas soluções, e isso acontece quando temos linhas iguais, portanto no nosso sistema

Se tivermos alguma linha repetida, então o sistema terá infinitas soluções. Então com toda malandragem do mundo, podemos pensar se as duas últimas linhas fossem iguais então teríamos infinitas soluções, e igualando os termos, temos:

Logo, para o sistema possuir infinitas soluções precisaríamos que e .

Agora na letra (b), queremos determinar os valores de e para que o sistema não tenha solução. E isso acontece por exemplo quando temos alguma inconsistência, ou algum absurdo. Vamos dar mais uma brincada na nossa matriz pra ver se encontramos alguma coisa:

E agora pensa comigo, se por acaso tivéssemos , então:

Logo, na última linha tiramos que:

MAASS, então se por acaso tivéssemos um , por exemplo , então teríamos:

Então se caso e o nosso sistema não tem solução.

E na letra (c), queremos encontrar a solução quando e . E aproveitando nosso último escalonamento, temos:

E substituindo os valores:

Logo, da última linha, temos que:

E na segunda linha:

E para a primeira linha:

Portanto, a solução é: