Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

b) Se A e B são matrizes n × n , então A + B 2 = A 2 + 2 A B + B ²

Passo 1

Bora pra mais uma de demonstração galera

Sabe aquele produto notável que diz que

x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ?

Então, agora queremos ver se isso também é verdade para matrizes quadradas, ou seja, queremos ver se A + B 2 = A 2 + 2 A B + B ² , onde A e B são matrizes quadradas

Vamos lá ver se isso é verdade

Passo 2

Pessoal, sejam A e B matrizes genéricas. Temos que

A + B 2 = A + B ∙ ( A + B )

Fazendo a distributiva:

A 2 + A B + B A + B 2

Mas olha só o que rola aqui, nas matrizes nem sempre A ∙ B = B ∙ A , nem sempre acontece de a multiplicação ser comutativa

Logo, não podemos escrever isso como 2 A B ou 2 B A em um caso genérico, portanto, não é sempre verdade que

A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2

Passo 3

Como contraexemplo dessa afirmação falsa, podemos usar as matrizes

A = 1 2 3 4       B = 4 3 2 1

Onde temos:

A + B 2 = 5 5 5 5 2 = 50 50 50 50

Enquanto:

A 2 + 2 A B + B 2 = 45 35 65 5 5

Ou seja, valores diferentes 😉

Resposta

Falsa

Contraexemplo: A = 1 2 3 4       B = 4 3 2 1

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