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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

UFES, Álgebra Linear, P1 Tarde, 2017.2 - Questão 4b

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

b) Se A e B são matrizes n × n , então A + B 2 = A 2 + 2 A B + B ²

Passo 1

Bora pra mais uma de demonstração galera

Sabe aquele produto notável que diz que

x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ?

Então, agora queremos ver se isso também é verdade para matrizes quadradas, ou seja, queremos ver se A + B 2 = A 2 + 2 A B + B ² , onde A e B são matrizes quadradas

Vamos lá ver se isso é verdade

Passo 2

Pessoal, sejam A e B matrizes genéricas. Temos que

A + B 2 = A + B ∙ ( A + B )

Fazendo a distributiva:

A 2 + A B + B A + B 2

Mas olha só o que rola aqui, nas matrizes nem sempre A ∙ B = B ∙ A , nem sempre acontece de a multiplicação ser comutativa

Logo, não podemos escrever isso como 2 A B ou 2 B A em um caso genérico, portanto, não é sempre verdade que

A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2

Passo 3

Como contraexemplo dessa afirmação falsa, podemos usar as matrizes

A = 1 2 3 4       B = 4 3 2 1

Onde temos:

A + B 2 = 5 5 5 5 2 = 50 50 50 50

Enquanto:

A 2 + 2 A B + B 2 = 45 35 65 5 5

Ou seja, valores diferentes 😉

Resposta

Falsa

Contraexemplo: A = 1 2 3 4       B = 4 3 2 1

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22