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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

Resolva o sistema linear abaixo, escrevendo o conjunto-solução em equações paramétricas:

x + y - 2 z = - 2 x - y = 0 2 x + y - 3 z = - 3

Passo 1

Vamos achar a matriz aumentada do sistema.

Lembra que pra fazer isso a gente coloca a matriz dos coeficientes do lado esquerdo e os números que estão depois do igual como um vetor do lado direito.

1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3

Agora vamos escaloná-la, seguindo um passo a passo!

Passo 2

  1. ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA

    2. Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?

    É o 1 !

    Encontrado.

    Passo 3

  2. ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)

    3. Aqui você precisa zerar o 1 e o 2 que estão logo abaixo do pivô.

    Fazendo L 2 ← L 1 - L 2 e L 3 ← 2 L 1 - L 3 , temos o seguinte:

    1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3 ⟹ 1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1

    Passo 4

  3. ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA

    4. O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o 2 .

    Peraí, tem algum jeito de transformar logo esse pivô em 1 ?

    Claro! Vamos dividir a segunda linha toda por 2 , fazendo L 2 ← 1 2 L 2 .

    1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1 L 2 ← 1 2 L 2 1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1

    Passo 5

  4. ZERAR A SEGUNDA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA)

Agora queremos zerar o 1 logo abaixo do pivô.

Fazendo L 3 ← L 2 - L 3 :

1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1 L 3 ← L 2 - L 3 1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0 - 2 - 1 0

Podemos descartar a linha nula!

1 1 - 2 0 1 - 1 - 2 - 1

Pronto! Está em sua forma escalonada.

Assim, passando para a forma de sistema:

x + y - 2 z = - 2 y - z = - 1

Isolando x na primeira equação e y na segunda temos:

x = - 2 - y + 2 z

E

y = - 1 + z  

Substituindo o valor de y na primeira equação temos:

x = - 2 + 1 - z + 2 z

x = - 1 + z

Logo temos:

x , y , z = - 1 + z , - 1 + z , z = - 1 , - 1,0 + z ( 1,1 , 1 )

A equação vetorial fica:

- 1 , - 1,0 + z 1,1 , 1 ,   z ∈ R

Que é uma reta no R 3 .

Como o problema pede a equação paramétrica, teremos:

x = - 1 + z y = - 1 + z z = z , z ∈ R

Resposta

x = - 1 + z y = - 1 + z z = z , z ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22