Resolva o sistema linear abaixo, escrevendo o conjunto-solução em equações paramétricas:

x + y - 2 z = - 2 x - y = 0 2 x + y - 3 z = - 3

Passo 1

Vamos achar a matriz aumentada do sistema.

Lembra que pra fazer isso a gente coloca a matriz dos coeficientes do lado esquerdo e os números que estão depois do igual como um vetor do lado direito.

1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3

Agora vamos escaloná-la, seguindo um passo a passo!

Passo 2

  1. ENCONTRAR O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA
  2. Qual o primeiro elemento não-nulo da primeira linha?

    É o 1 !

    Encontrado.

    Passo 3

  3. ZERAR A PRIMEIRA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA PRIMEIRA LINHA)
  4. Aqui você precisa zerar o 1 e o 2 que estão logo abaixo do pivô.

    Fazendo L 2 ← L 1 - L 2 e L 3 ← 2 L 1 - L 3 , temos o seguinte:

    1 1 - 2 1 - 1 0 2 1 - 3 - 2 0 - 3 ⟹ 1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1

    Passo 4

  5. ENCONTRAR O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA
  6. O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o 2 .

    Peraí, tem algum jeito de transformar logo esse pivô em 1 ?

    Claro! Vamos dividir a segunda linha toda por 2 , fazendo L 2 ← 1 2 L 2 .

    1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1 - 2 - 2 - 1 L 2 ← 1 2 L 2 1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1

    Passo 5

  7. ZERAR A SEGUNDA COLUNA (USANDO O PIVÔ DA SEGUNDA LINHA)

Agora queremos zerar o 1 logo abaixo do pivô.

Fazendo L 3 ← L 2 - L 3 :

1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1 - 2 - 1 - 1 L 3 ← L 2 - L 3 1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0 - 2 - 1 0

Podemos descartar a linha nula!

1 1 - 2 0 1 - 1 - 2 - 1

Pronto! Está em sua forma escalonada.

Assim, passando para a forma de sistema:

x + y - 2 z = - 2 y - z = - 1

Isolando x na primeira equação e y na segunda temos:

x = - 2 - y + 2 z

E

y = - 1 + z  

Substituindo o valor de y na primeira equação temos:

x = - 2 + 1 - z + 2 z

x = - 1 + z

Logo temos:

x , y , z = - 1 + z , - 1 + z , z = - 1 , - 1,0 + z ( 1,1 , 1 )

A equação vetorial fica:

- 1 , - 1,0 + z 1,1 , 1 ,   z ∈ R

Que é uma reta no R 3 .

Como o problema pede a equação paramétrica, teremos:

x = - 1 + z y = - 1 + z z = z , z ∈ R

Resposta

x = - 1 + z y = - 1 + z z = z , z ∈ R

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