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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

Sistemas Lineares

Assinale a solução geral do sistema linear representado pela matriz aumentada:

1 1 2 1 0 1 2 1 1 2 4 2

( a ) 0 , - 1 ,   1 +   t 0 , - 4 ,   2 ,     t   ∈     R

( b ) 0 , - 1 ,   2 +   t 0 , - 4 ,   2 ,     t   ∈ R

( c ) 0 ,   1 ,   0 +   t 0 ,   2 ,   0 +   s 0 ,   0 ,   1 ,     t ,   s   ∈ R

( d ) 0 ,   1 ,   0

Passo 1

Aqui você pode escalonar, certo?

Certo, mas se escalonar e achar uma solução parametrizada depois você talvez tenha o trabalho de ter que reparametrizá-la para ficar igual a uma das opções acima!

Então a melhor alternativa (e mais rápida) é simplesmente substituir os vetores-solução no sistema e ver qual a solução mais geral.

1 1 2 0 1 2 1 2 4 x y z = 1 1 2

O vetor-solução da letra ( a ) pode ser escrito como:

0 + 0 t - 1 - 4 t 1 + 2 t = 0 - 1 - 4 t 1 + 2 t

Substituindo no sistema A x → = b → :

1 1 2 0 1 2 1 2 4 0 - 1 - 4 t 1 + 2 t = 0 + - 1 - 4 t + 2 1 + 2 t 0 + - 1 - 4 t + 2 1 + 2 t 0 + 2 - 1 - 4 t + 4 1 + 2 t

Fazendo a conta a gente vê que os parâmetros t se cancelam. Então:

- 1 - 4 t + 2 + 4 t - 1 - 4 t + 2 + 4 t - 2 - 8 t + 4 + 8 t = 1 1 2

Deu! Esse aí serve como solução.

Passo 2

O vetor-solução da letra ( b ) pode ser escrito como:

0 + 0 t - 1 - 4 t 2 + 2 t = 0 - 1 - 4 t 2 + 2 t

Substituindo no sistema A x → = b → :

1 1 2 0 1 2 1 2 4 0 - 1 - 4 t 2 + 2 t = 0 + - 1 - 4 t + 2 ( 2 + 2 t ) 0 + ( - 1 - 4 t ) + 2 ( 2 + 2 t ) 0 + 2 - 1 - 4 t + 4 ( 2 + 2 t )

De novo, fazendo as contas, temos

- 1 - 4 t + 4 + 4 t - 1 - 4 t + 4 + 4 t - 2 - 8 t + 8 + 8 t = 3 3 6

Deu outro vetor! Esse aí não serve como solução. : (

Passo 3

O vetor-solução da letra ( c ) pode ser escrito como:

0 + 0 t + 0 s 1 + 2 t + 0 s 0 + 0 t + 1 s = 0 1 + 2 t s

Vamos repetir o que já fizemos nos passos anteriores. Substituindo no sistema A x → = b → :

1 1 2 0 1 2 1 2 4 0 1 + 2 t s = 0 + 1 + 2 t + 2 s 0 + ( 1 + 2 t ) + 2 s 0 + 2 1 + 2 t + 2 s = 1 + 2 t + 2 s 1 + 2 t + 2 s 2 + 4 t + 2 s

A gente até conseguiria chegar no vetor que a gente quer, se escolhesse os parâmetros t = 0 e s = 0 . Mas aí nesse caso não seria a solução geral, como o enunciado pede. Esse aí não serve como solução. : (

Passo 4

Substituindo o vetor da letra ( d ) :

1 1 2 0 1 2 1 2 4 0 1 0 = 1 1 2

Ou seja, esse vetor serve!

E agora, letra ( a ) ou letra ( d ) ?

Bom, quando isso acontece, temos que escolher a solução mais geral, de maior dimensão.

Inclusive se você reparar, o vetor da letra ( d ) é a letra ( a ) com t = - 1 2 (confira!).

A letra ( d ) nada mais é que um caso particular da letra ( a ) .

Resposta

Letra ( a ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22