UFRJ, P3-2019.1
Classifique as afirmativas abaixo:
- Existem dois números positivos tais que a razão entre a sua diferença e a sua soma é igual à razão entre eles.
- Existem dois números positivos tais que a razão entre a sua soma e a sua diferença é igual à razão entre eles.
- I é falsa e II é verdadeira.
- Ambas são falsas.
- I é verdadeira e II é falsa.
- Ambas são verdadeiras.
Passo 1
Xuxu beleza galerinha, vamos analisar cada uma das duas afirmativas e ver se elas são verdadeiras ou falsas. Saca só, na primeira, ele diz que existem dois números positivos tais que a razão entre a sua diferença e a sua soma é igual à razão entre eles.
Perai então, primeiro vamos escrever isso em matematiquês. Vamos chamar esses dois números positivos, de e .
Logo se eles são positivos, então, e . Sabendo disso, temos que a soma deles é:
Enquanto a diferença entre eles é:
Portanto, a razão entre a diferença e a soma é:
O enunciado diz pra gente que essa razão, vai ser igual a razão entre os números. Como colocamos o antes do , então colocaremos ele no numerador, dessa forma a razão entre eles é:
Passo 2
Belezoca, igualando os termos que a gente encontrou no Passo 1, temos que:
Passando o multiplicando do outro lado, temos:
Agora aplicando a distributiva:
E se a gente multiplicar tudo por , temos:
Só que essa equação só vai ter solução se , MAAASSSS o enunciado diz que e são positivos, logo eles não podem ser iguais a . Dessa forma nossa afirmativa (I) é Falsa.
Passo 3
Xuxu beleza então, agora a gente precisa analisar a segunda afirmativa, que diz que existem dois números positivos tais que a razão entre a sua soma e a sua diferença é igual à razão entre eles. Que é quase o contrário da outra afirmativa, só que agora queremos a razão entre a soma e a diferença, logo:
Passando o pro outro lado multiplicando, temos:
Show de bolinhas, agora bora multiplicar tudo por pra tirar ele do denominador, logo;
Passo 4
E esse polinômio que a gente encontrou aí, é MUUITOOO parecido com um produto notável que a gente conhece né não, o famoso:
A não ser que o sinal ali do tá trocado. Nossa equação é:
Só que o produto notável de sinal trocado é:
Mas como a gente é malandro, vamos fazer envolver essas duas equações desse jeito:
Logo:
Portanto podemos reescrever a nossa equação como:
E tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Logo:
Então quer dizer que sim, existem dois números positivos, tal que a razão entre a soma e a diferença é igual a razão entre ele. Pra gente ter certeza mesmo, vamos testar rsrs suponha que , então:
Então as razões ficam assim?
Então agora a gente tá de boinhas, quer dizer que a (I) é falsa e (II) é verdadeira. Afirmativa (a).
Resposta
Letra (a).