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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

A1 T16

Quais das expressões abaixo representa a solução geral da equação linear x - 2 y + 2 z = 3 . ( t , u são parâmetros reais.)

( a ) 3 + 4 t - 2 u , 1 + 4 t - 2 u , 1 + 2 t - u

b   5 + 4 t - 2 u , 1 + 2 t , u

( c ) 3 + 4 t - 2 u , 1 + 2 t - u , 1

( d ) 5 + 2 t - 2 u , 1 + t , 1 + u

Passo 1

Bom, a solução geral de um sistema é do tipo S = v 0 + S 0 . Onde v 0 é uma solução qualquer do sistema e S 0 é a solução do sistema homogêneo associado. Primeiro vamos “desmontar” essas equações:

a 3,1 , 1 + t 4,4 , 2 + u - 2 , - 2 , - 1

b 5,1 , 0 + t 4,2 , 0 + u - 2,0 , 1

c 3,1 , 1 + t 4,2 , 0 + u - 2 , - 1,0

d 5,1 , 1 + t 2,1 , 0 + u - 2,0 , 1

Beleza, vamos começar pelo v 0 . Jogando ele no nosso sistema podemos ver que todos sçao soluções menos o da letra d , então essa ta fora!

Passo 2

Agora pras outras letras vamos analisar o S 0 . Sabemos que o sistema homogêneo associado

x - 2 y + 2 z = 0

tem solução de dimensão 2 . Por que? Bem, temos três variáveis e uma equação, então duas variáveis livres. Ou seja, a solução tem dimensão 2 ! Então vamos ver qual letra não tem o S 0 com solução 2 !

Nas letras a e c , S 0 tem dimensão 1 concorda? O vetor multiplicando o t é múltiplo do que ta multiplicando o u ! Então a certa só pode ser a b !

Resposta

Letra ( b )

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Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22