Quais das expressões abaixo representa a solução geral da equação linear x - 2 y + 2 z = 3 . ( t , u são parâmetros reais.)

( a ) 3 + 4 t - 2 u , 1 + 4 t - 2 u , 1 + 2 t - u

b   5 + 4 t - 2 u , 1 + 2 t , u

( c ) 3 + 4 t - 2 u , 1 + 2 t - u , 1

( d ) 5 + 2 t - 2 u , 1 + t , 1 + u

Passo 1

Bom, a solução geral de um sistema é do tipo S = v 0 + S 0 . Onde v 0 é uma solução qualquer do sistema e S 0 é a solução do sistema homogêneo associado. Primeiro vamos “desmontar” essas equações:

a 3,1 , 1 + t 4,4 , 2 + u - 2 , - 2 , - 1

b 5,1 , 0 + t 4,2 , 0 + u - 2,0 , 1

c 3,1 , 1 + t 4,2 , 0 + u - 2 , - 1,0

d 5,1 , 1 + t 2,1 , 0 + u - 2,0 , 1

Beleza, vamos começar pelo v 0 . Jogando ele no nosso sistema podemos ver que todos sçao soluções menos o da letra d , então essa ta fora!

Passo 2

Agora pras outras letras vamos analisar o S 0 . Sabemos que o sistema homogêneo associado

x - 2 y + 2 z = 0

tem solução de dimensão 2 . Por que? Bem, temos três variáveis e uma equação, então duas variáveis livres. Ou seja, a solução tem dimensão 2 ! Então vamos ver qual letra não tem o S 0 com solução 2 !

Nas letras a e c , S 0 tem dimensão 1 concorda? O vetor multiplicando o t é múltiplo do que ta multiplicando o u ! Então a certa só pode ser a b !

Resposta

Letra ( b )

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