Assinale a solução geral do sistema:

x + y + z + w = 3 x + y - z - w = - 5

a) 0 ,   - 1 ,   4 ,   0 + ⟨ 2 ,   2 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   1 ) ⟩

b) 0 ,   - 1 ,   0 ,   4 + ⟨ 2 ,   - 2 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) ⟩

c) 0 ,   - 1 ,   0 ,   4 + ⟨ 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) ⟩

d) - 1 ,   0 ,   4 ,   0 + ⟨ 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   1 ) ⟩

e) Não sei.

Passo 1

Vamos somar as duas equações:

x + x + y + y = - 2

2 x + 2 y = - 2

Dividindo tudo por 2:

x + y = - 1

y = - x - 1   ( I )

Substituindo x + y = - 1 isso na primeira equação:

- 1 + z + w = 3

z + w = 4

w = - z + 4   ( I I )

Passo 2

Com base em ( I ) e ( I I ) , podemos escrever:

x ,   y ,   z ,   w = x ,   - x - 1 ,   z ,   - z + 4

Isso é a mesma coisa que escrever:

x ,   y ,   z ,   w = x ,   - x ,   0 ,   0 + 0 ,   0 ,   z ,   - z + ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   4 )

Colocando os termos y e w em evidência:

x ,   y ,   z ,   w = x 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 + z 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 + ( - 1 ,   0 ,   4 ,   0 )

Trocando x e z por parâmetros α e λ :

x ,   y ,   z ,   w = - 1 ,   0 ,   4 ,   0 + α 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 + λ 0 ,   0 ,   1 ,   - 1

Então, temos um conjunto gerado por ( 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) :

x ,   y ,   z ,   w = - 1 ,   0 ,   4 ,   0 + 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 , 0 ,   0 ,   1 ,   - 1

Opa, não temos essa alternativa!! :O Mas você concorda que o vetor 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 é a mesma coisa que ( 2 ,   - 2 ,   0 ,   0 ) ? Eles são LD!!

Então é a mesma coisa que

x ,   y ,   z ,   w = - 1 ,   0 ,   4 ,   0 + 2 ,   - 2 ,   0 ,   0 , 0 ,   0 ,   1 ,   - 1

Ou sejaaa, a alternativa correta é a letra B :D

Resposta

b) 0 ,   - 1 ,   0 ,   4 + ⟨ 2 ,   - 2 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) ⟩

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