Sejam A e B os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:

A = a b c d e f g h i 0 0 0   e   B = a b d e g h c f i

Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta correta:

  1. Se o sistema A tem apenas a solução trivial, então o sistema B não possui solução.
  2. Se o sistema B tem solução, então o sistema A tem uma solução não-trivial

a   Ambas são verdadeiras.

b   I é verdadeira e I I é falsa.

c   Ambas são falsas.

d   I I é verdadeira e I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Vamos lá, quando resolvemos o sistema a b c d e f g h i 0 0 0 estamos tentando combinar as colunas de A de modo que elas formem o vetor solução, que nesse caso é zero! Então estamos resolvendo esse problema:

x a , d , g + y b , e , h + z c , f , i = 0,0 , 0

Mas ta dizendo que esse sistema só tem a solução trivial, ou seja, o único jeito dessa equação ser satisfeita é com:

x , y , z = 0,0 , 0

E isso te lembra alguma coisa? A definição de L I certo? O único jeito de combinarmos os vetores colunas de A para formarmos o vetor 0 é com coeficientes zero! Então as colunas de A são L I . Ta e o que eu faço com essa informação??

Bom, se as colunas de A são L I então uma não pode ser formada por C L das outras certo? Po, mas é exatamente isso que o sistema B tenta fazer! Ele tenta combinar as colunas a , d , g e b , e , h para formar c , f , i ! E sabemos que isso é impossível já que são L I , então o sistema não possui solução. Afirmação correta.

Passo 2

Afirmativa I I :

Po, essa faz o caminho inverso da primeira afirmativa né? Ela diz que o sistema B tem solução, então o vetor c , f , i é C L de a , d , g com b , e , h . Ou seja, as colunas de A são L D !

Se são L D então tem mais de um jeito de chegarmos no vetor 0 combinando elas. Ou seja, o sistema A tem uma solução não trivial. Correta essa afirmativa.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados