Sejam A e B os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:

A = a b c d e f g h i 0 0 0   e   B = a b d e g h c f i

Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta correta:

  1. Se o sistema A tem apenas a solução trivial, então o sistema B não possui solução.
  2. Se o sistema B tem solução, então o sistema A tem uma solução não-trivial

a   Ambas são verdadeiras.

b   I é verdadeira e I I é falsa.

c   Ambas são falsas.

d   I I é verdadeira e I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Vamos lá, quando resolvemos o sistema a b c d e f g h i 0 0 0 estamos tentando combinar as colunas de A de modo que elas formem o vetor solução, que nesse caso é zero! Então estamos resolvendo esse problema:

x a , d , g + y b , e , h + z c , f , i = 0,0 , 0

Mas ta dizendo que esse sistema só tem a solução trivial, ou seja, o único jeito dessa equação ser satisfeita é com:

x , y , z = 0,0 , 0

E isso te lembra alguma coisa? A definição de L I certo? O único jeito de combinarmos os vetores colunas de A para formarmos o vetor 0 é com coeficientes zero! Então as colunas de A são L I . Ta e o que eu faço com essa informação??

Bom, se as colunas de A são L I então uma não pode ser formada por C L das outras certo? Po, mas é exatamente isso que o sistema B tenta fazer! Ele tenta combinar as colunas a , d , g e b , e , h para formar c , f , i ! E sabemos que isso é impossível já que são L I , então o sistema não possui solução. Afirmação correta.

Passo 2

Afirmativa I I :

Po, essa faz o caminho inverso da primeira afirmativa né? Ela diz que o sistema B tem solução, então o vetor c , f , i é C L de a , d , g com b , e , h . Ou seja, as colunas de A são L D !

Se são L D então tem mais de um jeito de chegarmos no vetor 0 combinando elas. Ou seja, o sistema A tem uma solução não trivial. Correta essa afirmativa.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22