Sejam A , B matrizes 3 × 3 e d uma matriz 3 × 1 .

Se a matriz A - 1 B existe e

C = 2 - 1 2 - 4 1 4 - 6 3 5 ,

A C x = B d admite solução? A solução é única? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma equação matricial A C x = B d e quer saber se equação admite solução e se ela é única. Nós sabemos que A , B são matrizes 3 × 3 e d uma matriz 3 × 1 . Ele nos deu também a matriz C e disse que o produto A - 1 B existe. Então, como podemos verificar essa solução?

Existe um teorema que nos diz que se A for uma matriz invertível, então para cada matriz b de tamanho n × 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, que é x = A - 1 b .

Percebe como essa equação se parece com a do nosso problema? Então, vamos usar esse teorema para encontrar uma solução para nossa equação.

Vamos lá!

Passo 2

Como o teorema diz que A x = b tem exatamente uma solução, que é x = A - 1 b . A equação A C x = B d terá uma solução da forma:

x = A C - 1 B d

É como se a gente passasse tudo para o outro lado isolando o x . Mas, se a inversa do produto A C - 1 existe, então, por definição, temos:

x = C - 1 A - 1 B d

O enunciado já nos disse que A - 1 B existe. Mas como podemos garantir que C - 1 também existe? Calculando o determinando da matriz C e verificando se ele é diferente de zero.

Passo 3

O enunciado nos deu:

C = 2 - 1 2 - 4 1 4 - 6 3 5

Calculando o determinante dessa matriz (somando o produto das diagonais principais e subtraindo o produto das diagonais secundárias), temos:

det ⁡ ( C ) = 10 + 24 - 24 + 12 - 20 - 24

det ⁡ ( C ) = - 22

Como det ⁡ ( C ) ≠ 0 , podemos dizer que C possui inversa. Dessa forma,

x = C - 1 A - 1 B d

É solução única da nossa equação, de acordo com o teorema.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O   s i s t e m a   p o s s u i   s o l u ç ã o   ú n i c a

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