UTFPR, Sem Campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 1° Teste - 2018.1, Questão 2
Sejam , matrizes e uma matriz .
Se a matriz existe e
admite solução? A solução é única? Justifique sua resposta.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma equação matricial e quer saber se equação admite solução e se ela é única. Nós sabemos que , são matrizes e uma matriz . Ele nos deu também a matriz e disse que o produto existe. Então, como podemos verificar essa solução?
Existe um teorema que nos diz que se for uma matriz invertível, então para cada matriz de tamanho , o sistema de equações tem exatamente uma solução, que é .
Percebe como essa equação se parece com a do nosso problema? Então, vamos usar esse teorema para encontrar uma solução para nossa equação.
Vamos lá!
Passo 2
Como o teorema diz que tem exatamente uma solução, que é . A equação terá uma solução da forma:
É como se a gente passasse tudo para o outro lado isolando o . Mas, se a inversa do produto existe, então, por definição, temos:
O enunciado já nos disse que existe. Mas como podemos garantir que também existe? Calculando o determinando da matriz e verificando se ele é diferente de zero.
Passo 3
O enunciado nos deu:
Calculando o determinante dessa matriz (somando o produto das diagonais principais e subtraindo o produto das diagonais secundárias), temos:
Como , podemos dizer que possui inversa. Dessa forma,
É solução única da nossa equação, de acordo com o teorema.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉