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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

Utilize escalonamento para resolver o seguinte sistema de equações.

x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 - 2 x 5 = 2 3 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 + 2 x 4 - x 5 = 3 2 x 1 + 4 x 2 - 3 x 3 + x 4 + x 5 = 1

Passo 1

Antes de começar a escalonar, temos que colocar esse sistema em uma matriz aumentada:

1 - 2 1 1 - 2 3 2 - 2 2 - 1 2 4 - 3 1 1 2 3 1

Escalonando:

L 2 → L 2 - 3 L 1 1 - 2 1 1 - 2 0 8 - 5 - 1 5 2 4 - 3 1 1 2 - 3 1

L 3 → L 3 - 2 L 1 1 - 2 1 1 - 2 0 8 - 5 - 1 5 0 8 - 5 - 1 5 2 - 3 - 3

Opa, a segunda e a terceira linha ficaram iguais :O então podemos escrever a matriz aumentada assim:

1 - 2 1 1 - 2 0 8 - 5 - 1 5 2 - 3

Passo 2

Passando a matriz aumentada de volta para um sistema:

x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 - 2 x 5 = 2 8 x 2 - 5 x 3 - x 4 + 5 x 5 = - 3

Se isolarmos x 4 na segunda equação, teremos:

x 4 = 8 x 2 - 5 x 3 + 5 x 5 + 3

Agora vamos substituir isso na primeira equação:

x 1 - 2 x 2 + x 3 + 8 x 2 - 5 x 3 + 5 x 5 + 3 - 2 x 5 = 2

x 1 + 6 x 2 - 4 x 3 + 3 x 5 = - 1

Isolando x 1 :

x 1 = - 1 - 6 x 2 + 4 x 3 - 3 x 5

Passo 3

Beleza, nosso conjunto solução é ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 ) .

Mas no passo 2 vimos que x 1 = - 1 - 6 x 2 + 4 x 3 - 3 x 5 e x 4 = 8 x 2 - 5 x 3 + 5 x 5 + 3 .

Então nosso conjunto solução se torna:

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 = - 1 - 6 x 2 + 4 x 3 - 3 x 5 ,   x 2 ,   x 3 ,   8 x 2 - 5 x 3 + 5 x 5 + 3 ,   x 5

Quee! Que negócio confuso!

Calma, vamos separar as variáveis em partes diferentes:

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5

= - 1 ,   0 ,   0 ,   3 ,   0 + - 6 x 2 ,   x 2 ,   0 ,   8 x 2 ,   0 + 4 x 3 ,   0 ,   x 3 ,   - 5 x 3 ,   0 + ( - 3 x 5 ,   0 ,   0 ,   5 x 5 ,   x 5 )

Colocando os parâmetros em evidência:

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 = - 1 ,   0 ,   0 ,   3 ,   0 + x 2 - 6 ,   1 ,   0 ,   8 ,   0 + x 3 4 ,   0 ,   1 ,   - 5 ,   0 + x 5 ( - 3 ,   0 ,   0 ,   5 ,   1 )

Logo, temos infinitas soluções nesse sistema, sendo uma combinação linear com 3 parâmetros, onde x 2 , x 3 e x 5 variam livremente.

Resposta

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 = - 1 ,   0 ,   0 ,   3 ,   0 + x 2 - 6 ,   1 ,   0 ,   8 ,   0 + x 3 4 ,   0 ,   1 ,   - 5 ,   0 + x 5 ( - 3 ,   0 ,   0 ,   5 ,   1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22